Varianza
Páginas: 2 (330 palabras)
Publicado: 4 de noviembre de 2015
Varianza
Definición 3.13 Se llama varianza de y se denota por , a la esperanza de la variable aleatoria , si esta existe.
Se demuestra que la existencia de la varianza implica la existencia dela esperanza. Por el contrario, una variable aleatoria puede tener una esperanza pero no tener varianza. Es el caso, por ejemplo, si tiene por densidad:
El cálculo de las varianzas se simplifica,con frecuencia, gracias al siguiente resultado.
Proposición 3.14 La varianza de existe si y sólo si existe y se tiene:
Demostración : Para pasar de la definición a la formula anterior, bastadesarrollar el cuadrado y emplear la linealidad de la integral.
La varianza mide cuanto se alejan del valor medio, , los valores que toma . La varianza no es homogénea: si esuna longitud expresada en metros, está expresada en metros cuadrados. Esto se corrige introduciendo la desviación estándar que es la raíz cuadrada de la varianza. Las propiedades principales de lavarianza son las siguientes.
Proposición 3.15
Para todo : .
Para todo : .
Si e son independientes, entonces:
Demostración : Las dos primeras propiedades son consecuencia directa de ladefinición. Para la tercera, si e son independientes, entonces y también lo son. Tenemos por tanto:
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traducela idea intuitiva que los valores que toma se separan menos de según es más pequeña. El caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor.
Teorema3.16 Sea una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para todo :
Demostración : Demostraremos este resultado para las variables continuas, el razonamiento para las variablesdiscretas es análogo. Pongamos . Se tiene:
Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la varianza.
Ley de Bernoulli :
por tanto:
Ley binomial :
suma de Bernoullis independientes
Ley...
Varianza
Definición 3.13 Se llama varianza de y se denota por , a la esperanza de la variable aleatoria , si esta existe.
Se demuestra que la existencia de la varianza implica la existencia dela esperanza. Por el contrario, una variable aleatoria puede tener una esperanza pero no tener varianza. Es el caso, por ejemplo, si tiene por densidad:
El cálculo de las varianzas se simplifica,con frecuencia, gracias al siguiente resultado.
Proposición 3.14 La varianza de existe si y sólo si existe y se tiene:
Demostración : Para pasar de la definición a la formula anterior, bastadesarrollar el cuadrado y emplear la linealidad de la integral.
La varianza mide cuanto se alejan del valor medio, , los valores que toma . La varianza no es homogénea: si esuna longitud expresada en metros, está expresada en metros cuadrados. Esto se corrige introduciendo la desviación estándar que es la raíz cuadrada de la varianza. Las propiedades principales de lavarianza son las siguientes.
Proposición 3.15
Para todo : .
Para todo : .
Si e son independientes, entonces:
Demostración : Las dos primeras propiedades son consecuencia directa de ladefinición. Para la tercera, si e son independientes, entonces y también lo son. Tenemos por tanto:
La desigualdad de Bienaymé-Tchebichev que presentamos a continuación traducela idea intuitiva que los valores que toma se separan menos de según es más pequeña. El caso extremo es el de una variable aleatoria de varianza nula, la cual solamente puede tomar un valor.
Teorema3.16 Sea una variable aleatoria que admite una varianza. Entonces, para todo :
Demostración : Demostraremos este resultado para las variables continuas, el razonamiento para las variablesdiscretas es análogo. Pongamos . Se tiene:
Presentamos algunos ejemplos de cálculos de la varianza.
Ley de Bernoulli :
por tanto:
Ley binomial :
suma de Bernoullis independientes
Ley...
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