Varias variables

Resumen 1° Certamen
1. Transformaciones Lineales 1.1 Definición: V y W espacios vectoriales sobre lK, T: VW.

a) Para todos u, v є V, T (u + v) = T (u) + T (v). b) Para todo α є lK y todo v є V, T (αv) = αT(v). c) a y b es equivalente a T(αu + v) = αT(u) + T(v). 1.2 Definición: a) b) c) d) e) T: VW, es T.L.

Ker(T) y Im(T) son sub-espacios de V y W, respectivamente. El Ker (T) = {v є V: Tv= 0}, cuando el Ker(T)=0, entonces T es inyectiva. Im(T) ={w є W: Ǝ v є V, w = T(v)}. T es epiyectiva si; Dim(Im(T)) = Dim(W), siendo W el conjunto de llegada. T es un isomorfismo, si solo si, T es biyectiva (cuando es inyectiva y epiyectiva). T:VW, es T.L. y Dim(V) es finita, entonces:

1.3 Definición:

Dim(V) = Dim(Ker(T)) + Dim(Im(T))
2. Topología en lRn 2.1 Puntos a) Puntos Interiores:Necesariamente un punto en la región. b) Puntos Frontera: Pueden no pertenecer a la región. 2.2 Regiones a) Región Abierta: Solo consiste de puntos interiores. b) Región Cerrada: Contiene todos sus puntos frontera. 2.3 Conjuntos a) Conjuntos Acotados: Si la región se encuentra dentro de n disco de radio fijo. Segmentos de recta, triangulos e interior de este, rectángulos, discos. b) Conjuntos NoAcotados: Rectas, ejes de coordenadas, graficas de funciones definidas sobre intervalos infinitos, cuadrantes, semiplanos y el plano mismo. 2.4 Espacio (lR3) ; bolas. Ejemplos: a) Conjuntos Abiertos: bolas abiertas, semiespacio abierto (z > 0), el espacio. b) Conjuntos Cerrados: Rectas, planos, bolas cerradas, semiespacio cerrado (z ≥ 0) c) Ni Abierto Ni cerrado: bola cerrada con parte de su esferaremovida.

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3.

Funciones en Varias Variables a) Curva de Nivel: Conjunto de puntos planos en que una (x, y), tiene un valor constante; (x,y) = C. La curva de nivel pertenece al Dom(f). b) Grafica o superficie de f: Conjunto de todos los puntos (x, y, (x, y)), en el espacio. (z = (x, y)). c) Superficie de Nivel: Superficie en el dominio de la función. (función de 3 variablesindependientes, tiene un valor constante).

4. Limites y Continuidades Una función (x, y) es continua en el punto (x0, y0), si : a) esta definifa en (x0, y0). b) , existe. c) = (x0, y0) “Es continua, si lo es en todo punto de su dominio”. Esta sección se aplica solo a puntos frontera y a puntos interiores del Dom( ). El punto (x, y) є Dom( ), siempre. 1° paso  Intentar operaciones algebraicas. 2° paso Limites Iterados, si son distintos, entonces el limite NO EXISTE. 3° paso  Si los límites iterados son iguales no nos dice nada. Entonces intentar acercarse por una curva, (si limite es igual a los limites iterados, el limite existe y tiene ese valor). 4° paso  Limite por acotamiento. 5° paso  Cuanto he probado TODO, entonces aplico definición. 5. Derivadas Parciales y Direccionales 5.1 DerivadasParciales:
(x0,y0)

=

(x, y0)| x=x0 =

Derivada parcial de (x, y) respecto a x, de manera similar con la derivada parcial de (x,y) con respecto a y. respecto a una variable. ( sea x1, x2,x3 ,… xn).

Derivada Parcial: Razón de cambio de

A diferencia de una función de una variable, en dos variables la función puede tener derivadas parciales sin ser continua ahí. Si , existen y soncontinuas en (x0, y0)
x

es continua en (x0, y0). y son iguales.

Siempre que ,

,

y

,

xy

y

yx

sean continuas

2

5.2 Derivada Direccional: Derivada parcial en dirección u.

( ) u,Po = [(
5.3 Gradiente ( ( ) u= |

)Po + ( )Po ĵ] • [u1 + u2 ĵ]
en un punto P0

Dirección u ): es el vector obtenido al evaluar las derivadas parciales de |*|u|*Cos( ) | | *Cos( )Propiedades (en 2 y 3-D): a) crece mas rápidamente en dirección de (porque, u =1 o Cos = 1). b) decrece mas rápidamente en dirección de . c) En todo punto (x0, y0) en el dominio de , el gradiente de es normal a la curva de nivel por (x0, y0). 1) Plano tangente en el punto P0(x0, y0, z0) sobre la superficie de nivel pasa por P0, normal a P0. Plano tangente( = C, es el plano que

)Po (x-x0)+ ( )Po...