varias variables
¢1 ¡
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
VARIAS VARIABLES
para MAT023
Verónica Gruenberg Stern
veronica.gruenberg@usm.cl
Nociones de Topología en el Espacio Euclideano Rn
Definición 1.1. En el espacio vectorial Rn , definimos el producto interior euclideano entre los
vectores x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn )como
n
x, y = (x1 , x2 , · · · , xn ), (y1 , y2 , · · · , yn ) =
x i yi
i=1
El espacio vectorial Rn dotado del producto interior euclideano se denomina espacio vectorial
euclideano de dimensión n.
Observación. Es usual llamar también a este producto producto punto y denotarlo por
x, y = x · y
Propiedades 1.1. Sean x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R.
1. x, x ≥ 0
y
x, x = 0
⇐⇒Entonces se cumplen las siguientes:
→
−
x= 0.
2. x, y = y, x .
3. αx + βy, z = α x, z + β y, z .
Demostración. Ejercicio para el lector.
Definición 1.2. Sea x ∈ Rn ,
x ,a
x = (x1 , x2 , · · · , xn ). Definimos la norma de x, y la denotamos por
n
x
x2
i
=
i=1
Notar que la norma de un vector en Rn así definida es un número real no negativo y corresponde
al tamaño ó magnitudde dicho vector.
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1.
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Definición 1.3. Si x, y ∈ Rn ,
entre ellos se define por
x = (x1 , x2 , · · · , xn ),
y = (y1 , y2 , · · · , yn ), entonces la distancia
n
=
i=1
(xi − yi )2 .
£
¢2 ¡
x−y
Si n = 1, 2 ó 3, la distancia asídefinida coincide con la distancia euclideana usual.
x = x ∈ R,
En efecto, si n = 1,
y = y ∈ R,
(x − y)2 = |x − y|
d(x, y) = d(x, y) =
Si n = 2,
x = (x1 , x2 ),
y = (y1 , y2 ),
por lo que la distancia
entonces
2
d(x, y) = x − y =
i=1
(xi − yi )2 =
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
Análogamente en el caso en que n = 3.
A continuación, presentamos las propiedadesfundamentales que satisfacen la norma de un vector
y la distancia entre dos vectores.
Propiedades 1.2. Sean x, y, z ∈ Rn , α ∈ R.
1. x ≥ 0
2. x = 0
⇐⇒
Entonces se cumplen las siguientes:
5. d(x, y) ≥ 0
→
−
x= 0.
4.
⇐⇒
6. d(x, y) = 0
3. αx = |α| x .
x−y = y−x .
x=y
7. d(x, y) = d(y, x)
n
8. | x, y | =
9.
i=1
x i yi ≤ x
y , conocida como ladesigualdad de Cauchy–Schwarz.
x+y ≤ x + y
10. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
conocidas como desigualdad triangular, tanto para la norma como para la distancia.
Demostración. Demostraremos sólo 8, 9 y 10.
→
−
8. Supongamos que x, y son vectores l.i. Luego, tx−y = 0 , ∀t ∈ R, de donde tx − y
es decir:
(tx1 − y1 )2 + (tx2 − y2 )2 + · · · + (txn − yn )2 = 0
2
= 0,
Reescribiendo estarelación como una ecuación cuadrática en la variable t:
n
n
x2
i
i=1
MAT023 (1◦ 2012)
t2 − 2
n
x i yi
i=1
2
yi
t +
= 0
i=1
2
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d(x, y) =
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Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuación de segundogrado en t es
negativo, es decir,
4
n
i=1
⇐⇒
x i yi
i=1
2
yi
i=1
2
n
n
x2
i
− 4
xi yi
£
¢3 ¡
2
n
< 0
i=1
n
n
x2
i
<
2
yi
i=1
i=1
9.
x+y
2
= (x + y) · (x + y)
= x 2 + 2 (x · y) + y 2
≤ x 2 + 2 |x · y| + y 2
≤ x 2 + 2 x y + y
≤ ( x + y )2
2
Nuevamente, extrayendo raíz cuadrada, obtenemos lo pedido.
10.d(x, y) =
x−y
=
x−z+z−y
≤
x−z + z−y
≤ d(x, z) + d(z, y)
Definición 1.4. Definimos la bola abierta ó vecindad abierta de centro a y radio r, al conjunto
B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a < r} .
Análogamente, definimos la bola cerrada ó vecindad cerrada de centro a y radio r, al conjunto
B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r} .
Ejemplos
z
Y
3.0
2.0
3
-1.
0
2
1
5.0
4.0...
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