Variedad Topologica

VARIEDAD TOPOLÓGICA
En matemáticas, una variedad topológica es un espacio topológico (incluso puede ser
un espacio separado), que se ve a nivel local como el espacio euclidiano, en cierto
sentido se define a continuación. Variedades topológicas forman una clase importante
de los espacios topológicos con las aplicaciones a través de las matemáticas.
Un distribuidor puede significar unavariedad topológica, o con mayor frecuencia, una
variedad topológica, junto con alguna estructura adicional. Variedades diferenciables,
por ejemplo, son variedades topológicas equipados con una estructura diferencial. Cada
colector tiene una variedad subyacente topológica, que se obtiene simplemente por
olvidar la estructura adicional.

DEFINICIÓN: Un espacio topológico

se llama localmenteeuclídeo si existe un
entero no negativo n tal que cada punto de tiene un entorno que es homeomorfo al
(o, equivalentemente, a un subconjunto abierto y conexo de ).
espacio euclidiano
Una variedad topológica es un espacio de Hausdorff localmente euclídea. Es común
que se imponen requisitos adicionales de variedades topológicas. En particular, muchos
autores los definen como paracompacto o segundonumerable. Las razones, y algunas
condiciones equivalentes, se discuten a continuación.
Una n-variedad se traducirá en una variedad topológica de tal manera que cada punto
tiene un entorno homeomorfo a
. Estos homeomorfismos son las cartas o mapas de
la variedad.

PROPIEDADES
La propiedad de ser localmente euclídeo es preservada por homeomorfismos locales.
Es decir, si es localmenteeuclídeo de dimensión y : → es un homeomorfismo
local, entonces
es localmente euclídeo de dimensión . En particular, siendo
localmente euclídea es una propiedad topológica.
Variedades de heredar muchas de las propiedades locales del espacio euclidiano. En
particular, son localmente compactos, conectado localmente, contable en primer lugar,
contráctil local, y metrizable localmente. Ser espaciosde Hausdorff localmente
compactos, los colectores son necesariamente espacios Tychonoff.
Una variedad no necesita estar conectado, pero cada variedad M es una unión de la
desunión de los colectores variedad. Estos son sólo los componentes conectados de ,
que son conjuntos abiertos desde colectores están conectados localmente. Al ser
localmente arco-conexo, una variedad es el camino-conectadosi y sólo si está

conectado. De ello se deduce que los componentes de ruta son los mismos que los
componentes.
El axioma de Hausdorff: La propiedad de Hausdorff no es local, de modo que a
pesar de que el espacio euclidiano es Hausdorff, un espacio localmente euclídeo no
tiene que ser. Es cierto, sin embargo, que cada espacio localmente euclídea es .
Un ejemplo de un espacio de Hausdorfflocalmente no euclidiana es la línea con dos
orígenes. Este espacio se crea mediante la sustitución del origen de la línea real con
dos puntos, un entorno abierto de cualquiera de los cuales incluye todos los
números distintos de cero en algún intervalo abierto centrado en cero. Este espacio
no es separado debido a que los dos orígenes no pueden separarse.
Compacidad y axiomas rendición decuentas: Un variedad es metrizable si y sólo si
es paracompacto. En cualquier caso, no paracompacto variedades son
generalmente considerados como patológicos. Un ejemplo de un colector no
paracompacto está dada por la línea larga. Variedades paracompacto tienen todas
las propiedades topológicas de los espacios métricos. En particular, son espacios de
Hausdorff perfectamente normales.
Múltiplesson también de obligado a ser el segundo-contable. Este es precisamente
la condición necesaria para asegurar que el colector incrusta en algún espacio finitodimensional euclídea (véase el teorema de incrustación Whitney). Para cualquier
colector de las propiedades de ser el segundo-contable, Lindelof, y σ-compactosson equivalentes. Cada segundo variedad-contable es paracompacto, pero no...