Varios

Prof. Eunices M. Boada A. Cátedra de Matemática III. 2004-II
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA "ANTONIO JOSÉ DE SUCRE" VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA.

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EJERCICIOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. x2 − y 2 −1 1. Sea f ( x, y ) = , halle f ( − x,− y ) , f ( 1 , 1 ) , [ f ( x, y )] x y 2 xy 2. Hallar lo valores que toma lafunción F ( x, y ) = x + 2 y − 1 en los puntos de la parábola

y = x 2 y hacer la gráfica de la función g definida por g ( x) = F ( x, x 2 ) . x2 + y 2 y 3. Determinar f (x ) si f ( ) = ; xy > 0 . x x 2 4. Hallar f ( x, y ) si f ( x + y , x − y ) = xy + y
5. Sea z =

y + f ( x − 1) . Determinar las funciones z y f si z = x para y = 1 . y 2 6. Sea z = x f ( ) . Determinar las funciones z y f siz = 1 + y para x = 1 . x DOMINIO.
1. a. c. e. Represente geométricamente el dominio de:

f ( x, y ) = x 2 − 1 + ln(1 − x 2 + y )
g ( x, y ) = 1 − y − x + ln( y − e x )

b.

f ( x, y ) = 2 − x + arcsen( x 2 + y )

f ( x, y ) = Arcsen( x 2 + y 2 − 4) + y + 9 − x 2 d.
f. h. j. l. n. p. r. t.

f ( x, y ) =

x2 − 4 + 4 − y 2
ln( x 2 + 3) y − x3

f ( x, y ) = Arc sen( x 2 − 4) + f ( x,y ) =

g. i. k. m. o. q.

f ( x, y ) = x 2 − 2 x − 3 + 4 − y 2

x 2 + y + ln(e x − y )

g ( x, y ) =

y − e x + ln(e x − 1)

f ( x, y ) =

y − x 2 + arcsen( y − 2)

⎛ 1− x ⎞ f ( x, y ) = 1 − y − x 2 + ln⎜ ⎟ ⎝ x+2⎠
f ( x, y ) = x+ y x− y

f ( x, y ) = arctg( x + y ) −

x+ y x− y

x f ( x, y ) = arcsen( ) − xy 2 y f ( x, y ) = arcsen( ) x 1 f ( x, y ) = y− x 1 f ( x, y , z )= xyz

f ( x, y ) =1 + − ( x − y ) 2
f ( x, y ) = ysen( x)

s.

z = sen( x 2 + y 2 )

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CONJUNTOS DE NIVEL.
2. a. b. c. d. e. f. Represente gráficamente los conjuntos de nivel:

f ( x, y ) =

x2 + y , para c = 1,c = 2 x − y2

f ( x, y ) = 1 − x − y , para c = −1,c = 1

f ( x, y , z ) = f ( x, y ) =

z − 4 x 2 −y 2 , para c = 0,c = 1

x+ y , para c=0, c=1, c=2. x− y f ( x, y ) = arcsen( xy ) f ( x, y ) = ln( x 2 + y )

LÍMITES.
3. a.

Demuestre que:

c.

⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ = −2 ⎜ ⎟ ( x , y ) →( 2 , − 3) ⎝ x + y ⎠ ⎛ ⎞ y2 ⎟=2 lím ⎜ ( x , y ) → ( −1, 2 )⎜ − x + y − 1 ⎟ ⎝ ⎠ lim
lím f ( x, y ) = 0 si f ( x, y ) =

b. d.

⎛ x ⎞ 1 ⎟= lim ⎜ ( x , y )→(1,1)⎜ 2 x + y ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 límf ( x, y ) = 5 ( x, y )→(−1, 2)
f ( x, y ) = x2 +1 3x − y

si

e.

( x, y ) →( −1, 2)

2x + y f. x+ y
h.

⎛ ⎞ y lim ⎜ ⎜ − 2 x + y ⎟ = −1 ⎟ ( x , y )→(1,1) ⎝ ⎠
( x , y ) → (1, − 2 )

g. i. k.

⎛ x ⎞ ⎟ =1 lim ⎜ ( x , y ) → (1,1)⎜ 2 x − y ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ y ⎞ ⎟=2 lim ⎜ ⎜ ⎟ ( x , y )→(1, − 2 ) ⎝ x + y ⎠ 3 lim f ( x, y ) = ( x , y )→(0, 0 ) 4 2 x +3 f ( x, y ) = 4− y
⎛ 2x − y ⎞ ⎟ = −4 lim ⎜ ( x , y )→(1, −2 )⎜ x + y ⎟ ⎝⎠ 2 lim ( x + y ) = 3
( x , y ) → (1, 2 )

lim

( xy 2 ) = 4

j. sí l.

m. o.

n. p.

⎛ x− y⎞ ⎜ ⎟ = −3 ⎜ ⎟ ( x , y )→(1, − 2 ) ⎝ x + y ⎠ 2 lim f ( x, y ) = ( x , y )→(0 , 0 ) 3 3 x +2 f ( x, y ) = . 3 + y2 x lim =1 ( x , y )→ (1,1) y lim
( x , y )→(0, 0

sí

lim

(3.x )

2

⎛ y⎞ + y sen⎜ ⎟ = 0 ⎝ x⎠

)

Prof. Eunices M. Boada A. Cátedra de Matemática III. 2004-II 4.Sean

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A = { ( x, y ) / y − 3 x = 0 } y B = {( x, y ) / y 2 = x }, la función definida por x2 y f ( x, y ) = 4 . Evalúe y lim f ( x, y ) lim f ( x, y ) . ¿ Existe x + y2 ( x , y ) →( 0 , 0 ) ( x , y ) →( 0 , 0 )
( x , y )∈A ( x , y )∈B

( x , y ) → ( 0, 0 )

lim

f ( x, y ) ? Razone su respuesta.
⎛ 2 xy ⎞ ⎜ ⎟. ( x , y ) → ( 0 , 0 )⎜ x 2 + 2 y 2 ⎟ ⎝ ⎠ lim

5.

Muestre que NO existe6.

⎧ 2 xy sí x 2 + y 2 ≠ 0 ⎪ 2 2 Sea f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪0 sí x = 0 ∧ y = 0 ⎩
lim f ( x, y ) ?.
( x , y )→(0 , 0 )

¿Cuál es el dominio de f?. ¿ Existe

7.

Se define la función f por:

⎧1 x = 0 ∨ y = 0 . f ( x, y ) = ⎨ ⎩0 en otro caso Sean S 1 = { ( x, y ) / y = 0 } ∧ S 2 = {( x, y ) / y = x } . lim f ( x, y ) y lim f ( x, y ) Evaluar,
( x , y )→ ( 0 , 0 ) ( x , y ) ∈ S1 (...