varios

CAPÍTULO

2
Funciones

1

2.8 Modelando con funciones
Ahora haremos uso de ejemplos concretos para mostrar la manera en que podemos utilizar a las
funciones para modelar matemáticamente situaciones y problemas reales.
Para llevar a cabo la actividad de modelar con funciones es necesario que se consideren las preguntas
siguientes: ¿qué es lo que se pide en el problema?, así como ¿quédatos se dan en el problema?
Ejemplo 2.8.1 Una región rectangular tiene un perímetro de 200 m. Expresar el área de la región como
función de la longitud de uno de sus lados.
H Consideramos un rectángulo con lados de longitudes x & h, expresados en metros.
x

h

Región

¿Qué es lo que se pide en este problema?
Expresar el área A del rectángulo, que es A D xh, como función (solamente) de xo bien de h.
¿Qué dato se da en el problema? Que el perímetro, que es P D 2x C 2h, es de 200 m. Esto es, se sabe
que 2x C 2h D 200 o bien que x C h D 100.

Tenemos entonces
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I


una función: A D xh


(por abuso del lenguaje en ocasiones llamamos función
a una regla de correspondencia o una fórmula);


una ecuación: x C h D 100:

Ahora de la ecuación despejamos una de las variables (la que más nos convenga) para luego sustituirla en la función. En este caso es indistinto despejar cualquiera de las dos variables.
Si queremos expresar el área A como función de x, despejamos h de la ecuación.
x C h D 100 ) h D 100

x;

sustituimos el valor de h en la función y obtenemos
A D xh D x.100x/ D 100x

x2 I

(si la quisiéramos como una función de h despejaríamos x D 100

h.)

Luego la función buscada es

A.x/ D 100x

x2 :

Ejemplo 2.8.2 Una región rectangular tiene un área de 160 m2 . Expresar su perímetro como función de la
longitud de uno de sus lados.
H Consideramos un rectángulo con lados de longitudes x & h, expresados en metros.
x

h

Región

¿Qué es loque se pide en el problema?
Expresar el perímetro P del rectángulo, que es P D 2x C 2h, como función (solamente) de x o bien
de h.
¿Qué dato se da en el problema? Que el área del rectángulo, que es A D xh, es igual a 160 m2 .
Esto es, se sabe que: xh D 160.
Tenemos entonces

una función: P D 2x C 2hI
una ecuación: xh D 160:
Si queremos expresar el perímetro P como función de h,despejamos x de la ecuación para después
sustituirla en P .
160
xh D 160 ) x D
I
h
2

2.8 Modelando con funciones

3

sustituyendo x en P obtenemos
160
h

P D 2x C 2h D 2

C 2h D

320
C 2h:
h

Luego la función buscada es
P .h/ D

320
C 2h:
h

Ejemplo 2.8.3 Una caja de caras laterales rectangulares sin tapa tiene su base cuadrada y un volumen de 2
m3 . Expresar el área de lacaja como función de uno de los lados de la base.
H Consideramos una caja de caras laterales rectangulares de altura h y base cuadrada de lado x
con h & x expresados en metros.

h

h

x
x

¿Qué es lo que se pide en este problema?
Expresar el área A de la caja como función de x (uno de los lados de la base) a sabiendas de que
A D área de la base C área de las caras laterales D x 2 C4xh:
¿Qué dato se da en el problema? Que el volumen de la caja, V D x 2 h, es igual a 2 m3 ; es decir, se
sabe que x 2 h D 2.
Tenemos entonces

una función: A D x 2 C 4xhI
una ecuación: x 2 h D 2:

Ahora, dado que se quiere expresar A como función de x, despejamos h de la ecuación, para luego
sustituirla en la función.
2
x2 h D 2 ) h D 2 :
x
Sustituyendo h en la función obtenemos
A Dx 2 C 4xh D x 2 C 4x

2
x2

D x2 C

8
:
x
3

4

Cálculo Diferencial e Integral I

Luego la función buscada es
A.x/ D x 2 C

8
:
x

Ejemplo 2.8.4 Una caja de caras laterales rectangulares con base y tapa cuadradas tiene un área total de 1 200
cm2 . Expresar el volumen de la caja como función de uno de los lados de la base.
H Consideramos una caja de caras rectangulares...