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MATEMÁTICA DISCRETA

La matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas (combinatoria, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética, grafos,...), como consecuencia de, entre otras cosas, su interés en la informática y las telecomunicaciones: la información se manipula y almacena en los ordenadores en forma discreta (palabrasformadas por ceros y unos), se necesita contar objetos (unidades de memorias, unidades de tiempo), se precisa estudiar relaciones entre conjuntos finitos (búsquedas en bases de datos), es necesario analizar procesos que incluyan un número finito de pasos (algoritmos)... 
Para hacernos una idea algo más clara del contenido de esta disciplina veamos algunas preguntas que podemos plantearnos eninformática y que se pueden responder con métodos de matemática discreta: 
¿Hay alguna conexión entre dos ordenadores de una red? 
Dada una tecnología de cableado, ¿cuál es el diseño de red más económico para cierta empresa? 
¿Cómo puede ordenarse una lista de números enteros (o de tareas de una cadena) en forma creciente? 
¿Cuántas palabras clave válidas hay para acceder a un sistema? 
¿Cómo sepuede codificar de forma adecuada y segura un mensaje? 
Responderemos alguna de estas preguntas en este curso. La matemática discreta proporciona, por otro lado, algunas bases matemáticas para otros aspectos de la informática: estructuras de datos, algorítmica, bases de datos, teoría de autómatas, sistemas operativos, investigación operativa,... así como ayuda al desarrollo de ciertas capacidadesfundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos... 
Demostración Matemática. Es una cadena finita de proposiciones verdaderas, que se obtienen con ayuda de reglas de inferencia lógicas. El punto de partida de esta cadena son proposiciones cuya verdad es conocida. El punto final de la cadena es el teorema ademostrar. Cada miembro de la cadena se obtiene del anterior mediante reglas de inferencia lógica.
Usos
En la demostración de teoremas matemáticos aparece la regla de inferencia lógica de la forma proposicional A resulta la forma proposicional B, si y solo si cada interpretación de las variables que satisfacen a A, satisface también a B y para ello se utiliza el siguiente teorema de la lógicamatemática: De A resulta B si y solo si la implicación es válida.
Pero la implicación es un teorema matemático cuya validez puede ser comprobada por una demostración. Podemos ahorrarnos, las interpretaciones de las variables de A y de B; siendo solo necesario demostrar el teorema. La expresión se expresa de la forma “de A resulta B o sí A entonces B”, siendo estas las formas en que comúnmente aparecenexpresados los teoremas matemáticos.
Diferentes vías para la demostración de un teorema
Demostraciones directas
Demostraciones indirectas.
Demostraciones por inducción completa
Son los métodos que se usan para demostrar un teorema y que son aplicados en muchos campos de la Matemática.
Existe el método de demostración directa y el método de demostración indirecta.
El Método DirectoConsiste en partir de las premisas (datos) del teorema y aplicando las reglas de la lógica y la teoría desarrollada, obtener o llegar a la tesis (conclusión) del teorema después de un número finito de pasos.
El Método Indirecto
Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respectoa las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera.
Como se puede observar para demostrar un teorema se hace necesario identificar las premisas y la tesis del teorema;...