varios

RAZONES Y PROPORCIONES ( 7º Y 8º básicos )

El segmento AB mide 4 cm.
A

B

El segmento CD mide 7 cm.
C

D

Se puede comparar por “diferencia”, en cuyo caso, AB < CD y también por “cuociente”
en que AB equivale a los 4 del segmento CD o bien los segmentos AB ∧ CD están en la
7
razón 4 es a 7 de sus medidas. Esto lo escribimos 4 o 4 : 7 o ( 4, 7) entonces,
7

Razón es unacomparación por cuociente

Sus términos se llaman Antecedente y Consecuente. El consecuente debe ser siempre distinto de
cero.
PROPORCIONES.Recordemos que una expresión como 2, además de considerarla como una razón,
5
5
la podemos considerar como un número fraccionario y por lo tanto se podría amplificar ( o
simplificar )

Ejemplo: 2 amplificado por 3 nos da 6 es decir 2 = 6 ; hemos obtenidouna
5
15
5
15
Igualdad entre 2 razones
Proporción es la igualdad entre dos razones.
Una proporción la podemos escribir:∀ a, b. c , d ∈ R, b ≠ 0 ∧ d ≠ 0
∀

a = c
b
d

a : b = c :

( a, b ) = ( c, d )

Toda razón tiene un cuociente, llamado valor de la razón a = K.- El valor de la
b
razón es sólo un número, por lo tanto es independiente de toda unidad en que estén expresados lostérminos de la razón.Los términos de una proporción se llaman Medios y Extremos.-

Extremo

Medio
a = c
b
d

Medio

Extremo

Teorema fundamental:
EN TODA PROPORCIÓN EL PRODUCTO DE LOS MEDIOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE
LOS EXTREMOS.-

a = c
b
d

⇔

a·d = b·c

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES.1) En toda proporción la suma o diferencia de los antecedentes, es a la suma odiferencia de los
consecuentes, como cada antecedente es a su consecuente.
Si a
b

=

a` también a + a` = a = a`
b`
b + b`
b
b`

2) Componer y descomponer una proporción.-

En toda proporción la suma o diferencia del antecedente y consecuente de la primera razón es a su
antecedente o consecuente, como la suma o diferencia del antecedente y consecuente de la segunda
razón es a suantecedente o consecuente. Componer ( + )
Descomponer ( - )
Si

_
_
_
_
a = a` también a + b = a´ + b` y a + b = a` + b
b
b`
a
a`
b
b`

2) En una proporción, un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio y
un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo.

Si a = c , también a = bc ; b = ad ; c = ad ; d = bc
b
d
d
c
b
a
Cuartaproporcional.- de 3 cantidades a, b, y c se llama a un valor x que cumple la condición
( o Proporciòn Discontinua)
a = c
b
x
Tercera proporcional.-de dos cantidades a y b , es un valor x que cumple la condición:
( o Proporción continua )
a = b
b
x
Media proporcional.- de dos cantidades a y b es un valor x que cumple la condición:
a = x
x
b
Serie de razones iguales.- Dada una seriede razones iguales.a = b = c = d =........................................
a`
b`
c` d`
Se cumple que: la suma de todos los antecedentes es a la suma de todos los consecuentes, como un
antecedente cualquiera es a su consecuente.
a + b + c + d + ............................. = a = b = c = d = ...........................
a` + b` + c` + d` + ..............................
a`
b`
c`
d`.................................
Razón Inversa.- La razón CD = 7 se dice que es inversa de la razón AB = 5 y
viceversa.
` AB
5
CD
7
Segmentos proporcionales.- Si a los segmentos a y b corresponden los segmentos a` y b`de tal
manera que
a = a`
se dice que son proporcionales.b
b`

a
b

à
b`

Una proporción no altera.

Si nos damos a = c
b
d

1) Cambiando el orden de los medios ode los extremos
Alternar una proporción.

d = c o bien
b
a

a = b
c
d

2) Cambiando el orden de los términos de cada razón.Invertir una proporción.-

b = d
a
c

3) Cambiando el orden de las razones.
Permutar una proporción.-

c = a
d
b

CALCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION.
Conociendo tres términos cualesquiera de una proporción, es siempre posible
calcular...