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La integración por partes

 
Una integral por partes se denomina así porque la metodología empleada “parte a la integral en dos nuevas integrales” que deben de cubrir ciertas características.
Sise recuerda el teorema de derivación de un producto es: (uv)’ = uv’ + vu’, de donde al multiplicar todo por dx se obtiene d(uv) = udv + vdu. Integrando en ambos lados de la igualdad resulta:
 

  Que es el teorema de la integración por partes, veamos que dice:
        Cuando derivas el producto de dos funciones, debido a la manipulación algebraica que algún problema requiera,  puedes perderalguno de los dos términos de la suma que generó su derivada, ¿de todos modos se puede recuperar el producto original?
        El teorema dice que sí y que aún más ¡te permite resolver la integralincompleta si eliges adecuadamente las partes “u” y “dv”!.
Básicamente se trabaja así:
1.    Supongamos que debes de resolver una integral y al intentar los teoremas básicos no se pudoresolver.  Pero, si la observas con cuidado está compuesta de productos, digamos... ,  bueno se ve medio feo pero lo que dice es que elijas simplemente algunos factores dentro de la integral, incluso algunos podríanser 1.
2.    Deberás elegir una combinación adecuada de factores a los cuales llamarás “u” y otra que incluya a dx, que llamarás “dv”.  En este caso se tienen 4 posibilidades que podrían ser {u =f(x), dv = g(x)h(x)dx}, {u = f(x)g(x), dv = h(x)dx}, {u = f(x)g(x)h(x), dv = dx}.
3.    Se elige la que se vea con más posibilidades; si ocurre lo siguiente:
a.     Normalmente  debe de ser fácilmenteintegrable.
b.    Al calcular du se estructura la nueva integral , y ésta debe ser más simple que la integral original y preferentemente poderse resolver de forma inmediata. –Se dice que debe de sermás simple porque posiblemente también se deba de resolver “por partes” pero se ve que es más sencilla, por ejemplo han disminuido los exponentes o desaparecido algunas expresiones que la hacían...