varios

PROBLEMAS
DE

ONDAS ESTACIONARIAS

Autor: Jos´ Antonio Diego Vives
e

Problema 1
Una cuerda de viol´n de L = 31,6 cm de longitud y µ = 0,065 g/m de densidad lineal, se coloca pr´ xima
ı
o
a un altavoz alimentado por un oscilador de frecuencia variable. Observamos que cuando la frecuencia
del oscilador se hace variar continuamente entre 500 y 1500 Hz, la cuerda s´ lo oscilaapreciablemente a
o
las frecuencias de 880 y 1320 Hz. Determinar la tensi´ n a la que est´ sometida la cuerda.
o
a

Para resolver este problema utilizaremos las f´ rmulas obtenidas para las ondas estao
cionarias generadas en una cuerda o en un tubo:
Cuerda sujeta por los dos extremos:
(tubo cerrado por los dos extremos)
L=n

λ
c
=n
2
2f

Cuerda sujeta por un extremo:
(tubo abierto por unextremo)
L = (2n + 1)

c
λ
= (2n + 1)
4
4f
Ondas estacionarias

Donde L es la longitud de la cuerda o el tubo, λ, c y f son respectivamente la
longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de la onda, y n = 0, 1, 2, ....

Soluci´ n
o
La cuerda oscilar´ apreciablemente cuando la frecuencia del sonido que le llega del altavoz sea una de
a
las frecuencias que pueden generar ondasestacionarias en la cuerda. Esto ocurre para dos frecuencias
consecutivas f1 = 880 Hz y f2 = 1320 Hz. Aunque desconocemos el valor de n se debe cumplir:

c

L=n

2f1
c


L = (n + 1)
2f2
despejando n de la primera ecuaci´ n (n = 2f1 L/c) y sustituyendo en la segunda:
o
L=

2f1 L
+1
c

c
→ 2f2 L = 2f1 L + c → c = 2L (f2 − f1 )
2f2

Podemos relacionar la velocidad de laonda (c) con la tensi´ n en la cuerda (T ) de acuerdo con la f´ rmula:
o
o
c=

T
→ T = c2 µ
µ

de donde obtenemos, sustituyendo la expresi´ n obtenida para c y los valores del problema:
o

T = 4L2 (f2 − f1 )2 µ = 50,26 N

Problema 2
Un hilo met´ lico ’1’ de L1 = 28,28 cm de longitud y µ1 =
a
0,050 kg/m de densidad lineal est´ soldado a otro hilo ’2’ de
a
densidad lineal mitadque la del anterior. Un extremo de estos
dos hilos est´ fijo a una pared en F y en el otro se cuelga un
a
cuerpo de 100 N pasando por una polea como muestra la figura. La longitud del segundo hilo, entre la soldadura S y la polea
P , es L2 = 100 cm. Si queremos que a lo largo de los dos hilos
entre F y P se formen ondas estacionarias de forma que en S
tengamos un nodo, ¿cu´ l es la frecuencia m´s baja fb que podea
a
mos aplicar a los hilos? y, en este caso, ¿cu´ l ser´ el n´ mero de
a
a
u
vientres nv que habr´ n en total a lo largo del segmento F SP ?
a

Soluci´ n
o
Como queremos generar ondas estacionarias de frecuencia f en los dos hilos con un nodo en la soldadura
S, cada hilo es como si estuviera sujeto por los dos extremos. Se debe cumplir entonces:

c1 
λ1

=n1
L1 = n 1

2
2f
λ2
c2 


L2 = n 2
= n2
2
2f

donde se ha tenido en cuenta que L, n, λ y c cambian en cada hilo pero f no.

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos la relaci´ n que deben cumplir n1 y n2 :
o
2f
n1 c1  
c2 L1
n1
L1
 
=
=
→
L2
n2   c2
n2
c1 L2
2f
 
Introduciendo la expresi´ n de la velocidad de la onda (c) en funci´ n de la tensi´ n en la cuerda (T):
o
o
o
c=
obtenemos:
n1
=
n2

T
µ2 L1
T
µ1 L2

T
µ

√
µ 1 L1
n1
=√
→
n2
µ 2 L2

y como, de acuerdo con el enunciado del problema µ1 = 2µ2 , queda finalemte:
√
n1
2µ2 L1 √ L1
&
= 2
= √&
n2
L2
µ2
&
& L2
Sustituyendo los datos del problema, obtenemos:
n1
4
2
= ...
= 0,4 = =
n2
5
10
La frecuencia m´ s baja compatible con esta relaci´ n corresponde con n1= 2 y n2 = 5, por lo que se
a
o
debe cumplir (sustituyendo los datos del problema):

T
n1 µ1
c1
L1 = n 1
→ fb =
= 158,1 Hz
2fb
2L1

El n´ mero de vientres presentes en estas condiciones es 7 como puede apreciarse en la figura.
u

nv = 7

Esquema de las ondas estacionarias en los hilos.

Problema 3
En una cuerda tensa dispuesta horizontalmente uno de sus extremos est´...