Varios

Winston página 736, problema 11 (adaptación).





ENUNCIADO


(Paradoja de Allais) Supongamos que podemos seleccionar entre las dos loterías siguientes:
L1: Con probabilidad 1, recibimos 1 millón de dólares.
L2: Con probabilidad 0.10, recibimos 5 millones de dólares.
Con probabilidad 0.89, recibimos 1 millón de dólares.
Con probabilidad 0.01, recibimos 0 dólares.
a) Siun decisor es indiferente al riesgo, ¿qué lotería preferirá? Si el decisor no es indiferente al riesgo, ¿qué lotería preferirá?

A continuación consideramos las siguientes dos loterías:
L3: Con probabilidad 0.11, recibimos 1 millón de dólares.
Con probabilidad 0.89, recibimos 0 dólares.
L4: Con probabilidad 0.10, recibimos 5 millones de dólares.
Con probabilidad 0.90, recibimos 0dólares
b) Si un decisor es indiferente al riesgo, ¿qué lotería preferirá? Si el decisor no es indiferente al riesgo, ¿qué lotería preferirá?

c) Suponga que, por ser muy contrario al riesgo, un decisor prefiere la lotería L1 a la L2. Si este decisor prefiere la L4 a la L3, razone que esta conducta no es consistente con los axiomas de von Neumann.

d) Explicar por que un decisor puedepreferir la lotería L1 a la L2 y, a la vez, la L4 a la L3.



SOLUCIÓN


a) Construimos las loterías


Si el decisor es indiferente al riesgo, debe usar la esperanza matemática. Usando como unidad monetaria un millón de dólares, se tiene:
E[L1] = 1*1 = 1 y E[L2] = 0.10*5 + 0.89*1 + 0.01*0 = 1.39.
Por tanto, debe elegirse L2 a L1 ya que tiene un valor esperado mayor.


Siel decisor no es indiferente al riesgo, la elección depende de su aversión o propensión al riesgo y, como vemos a continuación puede elegir cualquiera de ellas. Intuitivamente es claro que si su aversión al riesgo es muy alta preferirá L1 a L2 y, en caso contrario, preferirá L2 a L1. En efecto, la probabilidad de que con L2 sólo se consigan 0 dólares es muy pequeña (0.01), siendo las demásrecompensas mayores o iguales que las de L1. De esta manera, si la aversión al riesgo no es alta es razonable elegir L2 aunque se tenga la certeza de obtener una ganancia de 1 millón de dólares con L1.


Para hacer un razonamiento general, supongamos que la función de utilidad del decisor es u, que u(resultado menos favorable) = 0 y que u(resultado más favorable) = 1; aplicado esto a nuestro casose tiene u(0) = 0 y u(5) = 1, ya que 0 y 5 son los resultados menos favorable y más favorable respectivamente.
Entonces, se prefiere L1 a L2 ( E[u(L1)] > E[u(L2)] ( 1*u(1) > 0.1*u(5) + 0.89*u(1) + 0.01*u(0) ( u(1) > 0.10 + 0.89*u(1) ( 0.11*u(1) >0.10 ( u(1) > 10/11.


b) Construimos las loterías

Si el decisor es indiferente al riesgo, debe usar la esperanza matemática. Usandocomo unidad monetaria un millón de dólares, se tiene:
E[L3] = 0.11*1 +0.89*0 = 0.11 y E[L4]=0.10*5+0.90*0=0.5
Por tanto, debe elegirse L4 a L3 ya que tiene un valor esperado mayor.

Como en el apartado (a), si el decisor no es indiferente al riesgo, la elección depende de su aversión o propensión al riesgo y, como vemos a continuación puede elegir cualquiera de ellas.Intuitivamente es claro que con un poco más de riesgo de obtener ganancia 0 (pasando de probabilidad 0,89 a 0,90) se puede pasar de obtener 1 millón de dólares a obtener 5 millones. De esta manera, si la aversión al riesgo no es muy alta es razonable elegir L4 en lugar de L3.


Como en el apartado (a), para hacer un razonamiento general, supongamos que la función de utilidad del decisor es u, queu(resultado menos favorable) = 0 y que u(resultado más favorable) = 1; aplicado esto a nuestro caso se tiene u(0) = 0 y u(5) = 1, ya que 0 y 5 son los resultados menos favorable y más favorable respectivamente.
Entonces, se prefiere L3 10/11 y de lo (b) se sigue L3 >L4 ( u(1) > 10/11, es claro que una persona coherente prefiere L1 a L2 si y sólo si prefiere L3 a L4. Es decir, una persona...