Varios

Universidad Nacional Escuela de Matemática Topología

II Semestre 2010 Tarea1 Prof Lorena Salazar S

I Tarea Topología
1. Sea X cualquier conjunto y suponga que z es una familia de subconjuntosde X tal que (a) X y ; estan en z

(b) La unión de dos miembros de z es un mienbro de z (c) La intersección de cualquier familia de miembros de z es un miembro de z De…na un subconjunto U de X comoabierto si y solo si U = X F donde F 2 z: Pruebe que el conjunto de conjuntos abiertos asi de…nidos forman una topología en X y que el conjunto z es el conjunto de cerrados de X. 2. Sea N el conjuntode los enteros positivos. De…na un subconjunto F de N como cerrado si F contiene un número …nito de naturales o F = N: Pruebe que el conjunto de cerrados asi de…nidos, satisfacen las condiciones delejercicio anterior y por lo tanto inducen una topología en N; describa esta topología. 3. Sea (X; ) un espacio topológico. Sea A A por Ao = [ fU 2 : U (a) (Ao )o = Ao (b) Ao A (c) (A \ B)o = Ao \ B oX: Se de…ne el interior de Ag

es decir, la union de todos los abiertos que contienen a A. Pruebe que

(d) Un subconjunto U de X es abierto si y solo si U = U o 4. Para las que resultaron sertopologías en el ejercicio 1, halle el interior de A si A = f1; 2g 5. Demostrar que un subconjunto no vacío en un espacio métrico cualquiera, es abierto si y solo si es la unión de una familia de esferasabiertas. 1

6. Suponga que (X; d) es un espacio mérico. Pruebe que D es una nueva métrica sobre X X, donde para (x; y); (x0 ; y 0 ) 2 X X se de…ne D[(x; y); (x0 ; y 0 )] = d(x; x0 ) + d(y; y 0 ) 7.Suponga que (X; d) es un espacio mérico. Pruebe que D es una nueva métrica donde 8x; y 2 X se de…ne D(x; y) = minf1; d(x; y)g 8. Suponga que (X; d) es un espacio mérico. Pruebe que D es una nuevamétrica donde 8x; y 2 X se de…ne D(x; y) = d(x; y) 1 + d(x; y)

9. Suponga que X es un conjunto con más de un elemento. Pruebe que no existe una métrica en X que induzca la topología trivial en X....