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REOUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENZA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA
NACIONAL BOLIVARIANA




TRABAJO DE CALCULO NUMERICO





ALUMNO:
ALBORNOZ LEDIMIR JOSE
C.I:23477047
PROFESOR: ARTURO BARROS

09/07/2013











El problema de valor inicial


Al modelizar problemas de la ciencia,la ingeniera y la economía aparecen con frecuencia ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria (en adelante una EDO) es una relación entre una función y sus derivadas. Nosotros nos centraremos en ecuaciones de primer orden (la derivada de mayor orden que aparece es la de orden uno) escritas en la forma estándar
y0(x) = f(x; y(x)); a · x · b;
Donde f: [a; b] £ RD 7!RD es continua. Una solución de (1.1) en [a; b] es una
Función y: [a; b] 7! RD, y 2 C1 ([a; b]) que satisface (1.1). En el caso vectorial,
D > 1, que se puede interpretar como un sistema de ecuaciones escalares, y Y
F tienen d componentes cada una,
y = (y1; y2: yd) T; f = (f1; f2: fd) T:
Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en general no de ne por
1
Solo una solución única, yse hace necesario añadir a la formulación del problema un cierto número de condiciones adicionales. Estas son o bien \condiciones de frontera", si la información adicional se da en dos o más valores de x, o \condiciones iniciales", si se especiaban todas las condiciones de y en un único
Valor de x. En este capítulo y los dos siguientes nos centraremos en el caso en
Que se dan condicionesiniciales, y dejaremos el caso en que se dan condiciones
De frontera para más adelante. As Pues, dado ´ = (´1; ´2: ´d) T 2 RD, buscamos una solución del problema de valor inicial (PVI) en [a; b], esto es, una
Función y 2 C1 ([a; b]) que satisfaga
y0(x) = f(x; y(x)) para a · x · b; y(a) = ´: (1.2)
Si crees que todo problema de valor inicial tiene una única solución, echa
Un vistazo al siguienteejemplo.
Ejemplo. Consideramos la ecuación diferencial y0 = jyj® sujeta a la condición
Inicial y(0) = 0, siendo ® un número real Jo, ® 2 (0; 1). Es fácil comprobar
Que para cualquier número real no negativo c,
Yc(x) =
(
0; 0 · x · c;
(1 ¡®)1=(1¡®)(x ¡ c)1=(1¡®); c · x · 1;
Es una solución del problema de valor inicial en el intervalo [0;1). As pues,
Si bien el problema tiene solución, esta noes única. Sin embargo, en contraste
Con el caso ® 2 (0; 1), si ® ¸ 1 el problema de valor inicial tiene una única
Solución, y(x) ´ 0.
Este ejemplo muestra que hay que pedir algo a la función f para asegurar
Que la solución del problema (1.2) sea única. Nosotros pediremos una condición
De crecimiento con respecto al segundo argumento de la función.
Definición 1.1. La función f: D ½ R £ RD 7!RD satisface una condición de
Lipschitz en D con respecto a su segunda variable si existe una constante L,
Conocida como constante de Lipschitz, tal que
Kf(x; y) ¡f(x; ^y) k · Lky ¡ ^yk 8(x; y); (x; ^y) 2 D:

Observación. Dado que en un espacio vectorial de dimensión finita todas las
Normas son equivalentes, la propiedad de ser Lipschitz no depende de que norma tomemos.
Si fsatisface una condición de Lipschitz, la solución, de existir, será única.
Esto es una consecuencia inmediata del siguiente lema.
Lema 1.2. Sea D = [a; b]£Rd y sea f continua y Lipschitz con respecto a su
Segunda variable en D. Sean y; ^y dos soluciones de la ecuación (1.1) en [a; b].
Entonces, para todo a · x · b,
ky(x) ¡ ^y(x)k · ky(a) ¡ ^y(a)k exp(L(x ¡ a)): (1.3)
Prueba. Tenemos que
Y(x) = y(a)+
R x
A f(s; y(s)) ds;
^y(x) = ^y(a) +
R x
A f(s; ^y(s)) ds:
Restando y tomando normas, y usando que f es Lipschitz en su segunda varia-
Ble se tiene que
Ky(x) ¡^y(x)k · ky(a) ¡ ^y(a)k +
R x
A kf(s; y(s)) ¡ f(s; ^y(s))k ds
· Ky(a) ¡^y(a)k + L
R x
A ky(s) ¡ ^y(s)k ds:
(1.4)
Si definimos
G(x) = ky(a) ¡^y(a)k + L
Z x
A
Ky(s) ¡^y(s)k ds;
Tenemos por un lado que
Ky(x) ¡^y(x)k ·...