vector esfuerzo

Vector Esfuerzo

Vector Esfuerzo o tensión en una superficie interna S con vector unitario normal. Dependiendo de la orientación del plano en cuestión, el vector tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir, paralelo a, y puede descomponerse en dos vectores: un componente normal al plano, llamado tensión normal y otro componente paralelo al plano, denominado tensióncortante.

Composición de la Matriz de Esfuerzos

Sobre el elemento actúan tres esfuerzos normales y seis esfuerzos cortantes sobre lascaras. El estado de esfuerzos en el elemento es descrito mediante una matriz de 3*3 denominada el tensor de esfuerzos.
=
El tensor de esfuerzos es simétrico debido a que los esfuerzos cortantes cruzados deben ser iguales para garantizar equilibrio delelemento.
Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy sobre las tensiones de un cuerpo, establece que dada una distribución de tensiones internas sobre la geometría de un medio continúo deformado, que satisfaga las condiciones del principio de Cauchy existe un campo tensorial T simétrico definido sobre la geometría deformada con las siguientes propiedades:
1. . 
2. . 
3. . 

La tercera propiedadsignifica que este tensor vendrá dado sobre las coordenadas especificadas por una matriz simétrica. Cabe señalar que en un problema mecánico a priori es difícil conocer el tensor tensión de Cauchy ya que este está definido sobre la geometría del cuerpo una vez deformado, y ésta no es conocida de antemano. Por tanto previamente es necesario encontrar la forma deformada para conocer exactamente eltensor de Cauchy. Sin embargo, cuando las deformaciones son pequeñas, en ingeniería y aplicaciones prácticas se emplea este tensor aunque definido sobre las coordenadas del cuerpo sin deformar (lo cual no conduce a errores de cálculo excesivo si todas las deformaciones máximas son inferiores a 0,01).
Fijado un sistema de referencia ortogonal, el tensor tensión de Cauchy viene dado por una matrizsimétrica, cuyas componentes son:


Circulo de Mohr
Es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde lastensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.
Este método tiene aplicación para estados tensiónales en dos y tres dimensiones.

Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy , de modo de que noexistan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelofísico. Permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:
Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensortensión que en este caso viene dado por:


Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto...