Vector gradiente y derivada direccional

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE UNIVERSIDAD YACAMBÚ CABUDARE, ESTADO LARA VECTOR GRADIENTE Y MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES ALUMNO: ALFREDO J. PEREZ T. CALCULO III PROF: RONALD UGEL. Gradiente La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector unitario

y el vector

Este vector es importante ytiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de f. Definición 1.2 Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que se denota mediante , es el vector

Otra notación para el gradiente es grad f(x,y) Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la dirección de u como

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En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar delgradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema. Teorema 1.2 Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es

Ejemplo 1.3 Calcular la derivada direccional de en (−1,3) en la dirección que va desde P(−1,3) a Q(1,−2) Solución Un vector en la dirección especificada es

y un vectorunitario en esta dirección es

Como , el gradiente (−1,3) es

En consecuencia, en (−1,3) la derivada direccional es

Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada porel gradiente, como se establece en el teorema 1.3. Aplicaciones del gradiente Teorema 1.3 Si f es una función diferenciable en el punto (x,y) 1) Si , entonces 2

para todo u. 2) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por . El valor máximo de es . 3) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por − . El valor mínimo de es − . Para visualizar una de las propiedades delgradiente, consideremos un esquiador descendiendo una de las laderas de una montaña. Si f(x,y) denota la altitud del esquiador, entonces − indica la dirección que el esquiador debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima pendiente (Recordemos que el gradiente indica dirección en el plano xy y por si mismo no señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña). Como ilustraciónalternativa del gradiente consideremos la temperatura T(x,y) en un punto (x,y) cualqueira de una placa metálica plana. En este caso, grad T da la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto (x,y), como se señala en el ejemplo 1.4. Ejemplo 1.4 La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por

midiendo x e y en centímetros. Desde el punto(2,−3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento? Solución El gradiente es

Se sigue que la dirección de más rápido crecimiento viene dada por

como se muestra en la figura 5.5, y que la razón de crecimiento es

por centímetro 3

Curvas de nivel

figura 1.5 Dirección de más rápido crecimiento en (2,−3) La solución que se presenta en elejemplo 1.4 puede resultar engañosa. A pesar de que el gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la temperatura, no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local al problema de encontrar un crecimiento relativo a la temperatura en el punto (2, −3). Una vez que abandonamos esa posición, la direcciónde más rápido crecimiento puede cambiar. Ejemplo 1.5

Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto (2,−3) de una placa metálica cuya temperatura en (x,y) es . Encontrar la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la tempertatura. Solución Representaremos la trayectoria por la función posición

Un vector tangente...