Vector

Introducción
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
[pic]
Aquí, ΔS es el área dela superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ΔS yorientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
Aunque el que el rotacionalde un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encieren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula poruna tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:
[pic]
La idea es que sicolocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a unlado y a otro de la rueda.

Fuente vectorial y escalar

Al campo vectorial, [pic], que se obtiene calculando el rotacional de un campo [pic]en cada punto,
[pic]
se conoce como las fuentesvectoriales de [pic](siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carecede fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar:
[pic]

Expresión en coordenadascartesianas [editar]

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es
[pic]
que se puede expresar de forma más...