Vectores 3d

2. VECTORES DESLIZANTES.

2.1.- MOMENTO DE UN CURSOR RESPECTO A UN PUNTO.

Por definición, se llama momento de un vector (A,f), respecto a un punto O, que de ordinario se hace coincidir con el origen de coordenadas, al vector:

M(O) = (A - O)x f = Ax f (2-1)

El momento es otro vector perpendicular a A y f, cuyo sentido viene dado por la regla del sacacorchos. El momento con respecto a Oes nulo si A es paralelo a f; es decir, si O está
en la recta soporte de f.

Si f' es otro vector, situado en la mis- ma recta soporte que f, de igual módulo y con origen en A' (fig 2.1), el momento de f' con respecto al mismo punto O, será:

M′(O) = (A′ - O)x f ′ = A′x f ′

2.1.

y siendo f' = f, se tiene:

M′(O) - M(O) = (A′- A)x f ′ = 0

por ser A'-A y f paralelos. Se ve así quef puede deslizar sobre su recta de acción sin que varíe su momento con respecto al mismo punto; por esto, no tiene sentido hablar de momento de un vector libre (todos los vectores equipolentes no tienen el mismo momento con respecto a un punto dado) y sí de los vectores deslizantes o cursores. Son cursores las fuerzas y las velocidades angulares ω. Cuando f = ω, velocidad de un punto, M es suvelo-cidad lineal: V = A x ω = ω x R, donde R = OA = - A es el vector de posición del punto.

La ecuación (2-1) nos determina las componentes del vector M(O), ya que si X,Y,Z, son las componentes de A, se tiene:

M x I +

M y J +

I J K
Mz K = X Y Z

f x f y f z

de manera que las componentes del vector momento son:

M x = Y

f z - Z f y

M y = Z

f x - X f z

M z= X

f y - Y f x

(2-2)

pero también nos determina los cosenos directores de la recta de acción de M(O), pues, basta dividir las (2-
2) por el módulo. Todos los vectores equipolentes tienen las mismas componen-tes (2-2); de aquí que, aunque es costumbre dibujar el momento de un cursor como un vector de origen O, el momento es un vector libre (vector axial o pseudovector). Téngase estopre-sente, aunque se siga dibujando en O (hay que dibujarlo en algún lugar).

Multiplicando la ecuación (2-1) escalarmente por f, se tiene:

f x M x +

f y M y +

f z M z = 0

(2-3)

Por consiguiente, conocidas las componentes de f y M(O) el cursor queda perfecta-mente definido, pues fx, fy, fx, determinan el módulo, los cosenos directores y sentido del cursor, en tanto que dos de lasecuaciones (2-2) determinan la recta soporte. Por esto las componentes: fx, fy, fz, Mx, My, Mz, que han de cumplir la formula (2-3), se denominan coordenadas del cursor.

Como producto vectorial que es, el módulo de M(O) representa el área del paralelogramo de lados A y f y, también, es el producto de f por d, siendo d la distancia mínima de O a la recta de acción de f:

M(O) = f A sen θ = fd

2.2.

El momento de un cursor depende del punto O elegido, llamado centro de momentos. Si tomamos otro punto O' (fig 2.2) como centro de momentos, M(O') ≠ M(O). En efecto, el momento con respecto a O' es
M(O′) = (A - O′)x f = (A - O + O - O′)x f = (A - O)x f + (O -O′)x f

y como el primer sumando es el momento con respecto a O:

M(O′) = M(O) + (O - O′)x f

(2-4)

quenos dice que el momento de un cursor con respecto a un punto O' es igual al momento del mismo cursor con respecto a otro punto cualquiera O, más el momento del cursor con respecto a O', supuesto aplicado en O.

Ejemplo 2.1.- Dado el cursor f(3,-1,2) que pasa por el punto A(1,2,0), demostrar la formula (2-4), si
O'(1,1,1) y O(0,0,0).

Solución: Escribiendo y desarrollando los determinantescorrespondientes: M(O) = (A-O) x f = (4,-
2,-7), (O-O')xf = (-1,-1,4), M(O') = (A-O')xf = (3,-3,-3), luego se cumple.

2.2.- MOMENTO DE UN CURSOR CON RESPECTO A UN EJE.

Llamaremos momento del cursor f con respecto a un eje de vector unitario U al esca-lar definido por el producto escalar

U . M(O) = U . Ax f (2-5)

2.3. resulta:

siendo U el versor que con un punto define el eje. Se...