Vectores Aleatorios

CAPITULO V
VECTORES ALEATORIOS
Corresponde a lo que algunos autores han denominado VARIABLES ALEATORIAS n_DIMENSIONALES, y permite la extensión de la propuesta presentada en los capítulos 2 y 3. Se amplían los conceptos unidimensionales de variables aleatorias, funciones de probabilidad, densidad y distribución, medidas que ayudan a describir una variable aleatoria, y funciones de variablesaleatorias.
Este capítulo constituye a la vez una base fundamental para la Teoría de Confiabilidad, el análisis multivariado, el cual se ha ido imponiendo en la actualidad, entre otros métodos de aplicación práctica.



1. DEFINICIÓN.

Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y sea (X1,X2,...,Xn) ó X una función de X1, X2,..., Xn, denominada VariableAleatoria n - dimensional, o vector aleatorio de orden n, tal que
[pic]
NOTACION. [pic] representa el resultado conjunto del experimento aleatorio, en el cual se han observado las n características.

Ejemplo 1:
[pic] puede ser:
□ (X1, X2) = (oferta, demanda)
□ (X1, X2, X3) = (cantidad de lluvia, temperatura, duración) ,
□ (X1, X2, X3, X4) = (grosor, color, resistencia, contenido depotasio en un pedazo de vidrio) ,
□ (X1, X2, X3, X4,X5) = (estatura, peso, genero, edad, estrato socio-económico)
□ (X1, X2,..., Xn) = (n observaciones de la misma variable)


2. CLASES DE VECTORES ALEATORIOS

Al igual que las variables aleatorias, los vectores pueden ser Cuantitativos Discretos, conformados por variables aleatorias que toman valores enteros, Cuantitativos Continuos si cadauna de las n variables toman valores reales, Cualitativos si las n variables son atributos de los sujetos u objetos observados, y Mixtos cuando constituyen una mezcla de variables cuantitativas y cualitativas.


2.1 Vector Aleatorio Discreto

Cuando [pic] toma valores finitos o infinitos enumerables (número contable de valores) se denomina vector aleatorio discreto.

Ejemplo 2:
Lanzar dosmonedas; Xi representa el resultado del lanzamiento de la moneda i-ésima, i =1, 2 y más precisamente se decide definirla como el número de sellos en el lanzamiento, es una variable dicotómica ó nominal, para la asignación de números reales los valores lógicos serán el 0 y el 1. La presentación funcional es como sigue:
(X1, X2)=[pic]: ( [pic]
(c c)[pic](0, 0) = (X1 (w1), X2 (w2))=((X1 (c) , X2 (c))=(X1=0, X2=0)
(c s)[pic](0, 1) = (X1 (c) , X2 (s))
(s c)[pic](1, 0) = (X1 (s) , X2 (c))
(s s)[pic](1, 1) = (X1 (s) , X2 (s))

2.1.1 Funciones de Probabilidad de un Vector Aleatorio Discreto
Un vector aleatorio discreto se caracteriza por su función de probabilidad denominada CONJUNTA, conocida ésta es posible determinar otras funciones desubvectores aleatorios, también llamadas de probabilidad, algunas de las cuales se conocen como MARGINALES mientras otras son CONDICIONALES.

2.1.1.1 Función de Probabilidad Conjunta
Sea [pic] un vector aleatorio discreto, la función de probabilidad conjunta de [pic], [pic], es definida
por:
[pic]

[pic]
Tal que [pic] cumple las propiedades:
[pic]

Ejemplo 3:
Con base en elejercicio anterior:
[pic]
(0, 0) [pic]= ¼
(0, 1) [pic] = ¼
(1, 0) [pic] = ¼
(1, 1) [pic] = ¼
en forma resumida puede verse como una función ó como una tabla de la cual se hablara un poco más adelante en cuanto a la relación con la Estadística:
|fX1X2 |X2 |
|X1 |0 |1 |
|0 |¼ |¼ |
|1 |¼ |¼ |

[pic]2.1.1.2 Función de Probabilidad Marginal
Sea un vector aleatorio n- dimensional de clase discreta con función de probabilidad conjunta [pic] . La función de probabilidad marginal de X1, X2 ... Xm , o de X(1) = H(X1, X2, ..., Xm) subvector aleatorio de dimensión m, m ( n , se define como:
[pic]
tal que cumple las mismas propiedades de la función conjunta de probabilidad [pic]

Ejemplo...