Vectores(algebra lineal)

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial
Es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido V. debesatisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: , y análogamente
2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
Donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el serhermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio enel que está definido, de la siguiente manera:
.
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:


Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.
Cálculo del módulo conociendo sus componentesEjemplo


Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos




Ejemplo


Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.


Ejemplo


Producto vectorial de dos vectores
Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre yda como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
• El módulo de está dado por

Donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
• La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello selo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, comoantes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
Producto vectorial de dos vectores

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta,mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
La siguienteexpresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:

Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo...