Vectores artogonales

VECTORES ORTOGONALES

Dos vectores x y y en Rn se dicen ortogonales s i x • y = 0. Si esto pasa se expresara como x ⊥ y.
En un espacio vectorial con producto interior V, dosvectores e son ortogonales si el producto escalar de es cero.
Esta situación se denota.

Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de losvectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

EJEMPLO 1
Indique si los vectores x y y son ortogonales. Directamente de la definición:
x =< 1, 0, 2>
y =< −2, 2, 1 >
SOLUCION 1
x • y = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1)
x • y= −2 + 0 + 2 = 0
Por tanto, x ⊥ y.

EJEMPLO 2
Determine el valor del parámetro a para que W y Zsean ortogonales.
W=< 1, 1, 2 >
Z=< −3, a, 1 >
SOLUCION 2
W•Z = (1)(−3) + (1)(a) + (2)(1) = −3 + a + 2 = a − 1
Por tanto, x ⊥ y si y solo si x • y = 0 si y solo si a = 1.EJEMPLO 3
Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal
v1 = (1, 0, 2)
v2 = (−2, 2, 1)
v3 = (−2, −5/2, 1)
SOLUCION 3
Calculando todos los productospunto entre vectores diferentes tenemos
v1 • v2 = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = 0
v1 • v3 = (1)(−2) + (0)(−5/2) + (2)(1) = 0
v2 • v3 = (−2)(−2) + (2)(−5/2) + (1)(1) = 0
Asíconcluimos que es conjunto es ortogonal.

EJEMPLO 4
Sean los vectores
M=
N=
SOLUCION 4
El producto punto es
M • N= (-3)(8)+(2)(12)=-24+24=0

EJEMPLO 5
U= (1, 4, 0)
V=(-8, 2, 3)
SOLUCION 5
U•V= (1)(-8) + (4)(2) + (0)(3)
U•V= -8+8+0 = 0
EJEMPLO 6
Para que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene que ser igual a cero.SOLUCION 6

EJEMPLO 7
Halle el ortogonal
a (2, −2, 3) y (3, −3, 2).
SOLUCION 7





EJEMPLO 8
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.