Vectores En El Espacio, Producto Punto Y Producto Cruz

Vectores en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Determinar la componentes de los vectoresque se pueden trazar el el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Dados los vectores y , hallar los módulos de y ·

Cálculo delmódulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la mismadirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos
Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores y , hallar el módulo del vector .

Propiedades de la suma devectores
Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutativa
+ = +
Elemento neutro
+ =
Elemento opuesto
+ (− ) =

Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vectorresultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Propiedades del producto de un número por un vector
Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') ·
Distributiva respecto a la suma de vectores
k · ( + ) = k · + k ·
Distributiva respecto a los escalares
(k + k') · = k · + k' ·
Elemento neutro
1 · =
Ejemplo
Dado = (6, 2, 0) determinar de modo que sea 3 = .

Combinaciónlineal de vectores en el espacio

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Ejemplo
Expresa el vector = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: = (1, 0, 1), =(1, 1, 0) y = (0, 1, 1).

Sumamos miembro a miembro las tres ecuaciones y a la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2.Dos vectores son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres = (u1, u2) y = (v1, v2)son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo
Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , y . Escribir como combinación lineal de y, siendo k el valor calculado.
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores...