Vectores en el espacio

Vectores en el espacio

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en elprimer octante las tres coordenadas son positivas.

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremomenos las coordenadas del origen.

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A (−3, 4, 0), B (3, 6, 3) y C (−1, 2, 1).

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.Cálculo del módulo conociendo sus componentes



Dados los vectores y, hallar los módulos de y ·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A (1, 2, 3) y B (−1, 2, 0).Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.


Suma de vectores

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos
Dados = (2, 1, 3), =(1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores y, hallar el módulo del vector .

Propiedades de la suma de vectores

* Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
* Conmutativa
+ = +
* Elemento neutro
+ =
* Elemento opuesto
+ (− ) =

Producto de un número real por un vector

Elproducto de un número real k por un vector es otro vector:
* De igual dirección que el vector.
* Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
* De sentido contrario del vector si k es negativo.
* De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Propiedades del producto de un número por un vector

*Asociativa
k · (k' · ) = (k · k') ·
* Distributiva respecto a la suma de vectores
k · ( + ) = k · + k ·
* Distributiva respecto a los escalares
(k + k') · = k · + k' ·
* Elemento neutro
1 · =
Ejemplo
Dado = (6, 2, 0) determinar de modo que sea 3 = .

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esosvectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cerotodos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son...