Vectores en el espacio

UNIDAD 5

VECTORES EN EL ESPACIO

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Problema 1 Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo α:

5 cm

Área = 8 · 5 sen α = 40 sen α cm2

α 8 cm

Halla el área de este triángulo en función del ángulo β:

a β b

Área triángulo =

a b sen β cm2 2

Problema 2 Halla el volumen de este paralelepípedo en función de α y de β.

Área base = 40 sen α   Altura =10 cos β  Volumen = 400 sen α cos β cm3
β

10 cm

α

5 cm 8 cm

Unidad 5. Vectores en el espacio

1

Página 133
¿Cuál será el volumen de un paralelepípedo de aristas a, b, c, tal que las dos aristas de la base formen entre sí un ángulo α, y las aristas laterales formen un ángulo β con la perpendicular?
c

Volumen = a b c sen α cos β
β α b a

Problema 3 Halla la diagonal deun ortoedro cuyas dimensiones son: c = 3 cm, b = 4 cm y a = 12 cm.

c c

Diagonal = √3 2 + 4 2 + 12 2 = = √169 = 13 cm
b b a

Escribe la expresión general de la diagonal de un ortoedro de aristas a, b y c. En general: Diagonal = √a 2 + b 2 + c 2

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1. La propiedad a · (b · v ) = (a · b) · v relaciona el producto de números por vectores con el producto entre números. a) De loscuatro productos que aparecen, ¿cuáles son del primer tipo y cuáles del segundo? b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = –2 y v un vector cualquiera representado sobre el papel. a) Producto de números por vectores: b · v; (a · b) · v; a · (b · v ) Producto entre números: a · b
Unidad 5. Vectores en el espacio
→ → → → → →

2

b) a · (b · v ) = 3 · (–2 v )  → →  3 · (–2 v ) = –6 v → → (a· b) · v = –6 v 
3 ·( –2 v)→

2. La propiedad (a + b) · v = a · v + b · v relaciona la suma de números con la suma de vectores. a) De las dos sumas que aparecen, ¿cuál es de cada tipo? b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = 5 y v un vector cualquiera representado sobre el papel. a) Suma de números: a + b Suma de vectores: a v + b v b) (a + b) · v = 8 v
→ → → → → → → →

→

→

→8v→

–6

v→

–2
→ →

v→ v→
→

→ →  →  8v = 3v + 5v av + bv = 3v + 5v  →

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1. Si u(–3, 5, 1), v(7, 4, –2), halla las coordenadas: a) 2u
→ → → → → → → → →

b) 0v
→

c) –u

d) 2u + v
→

e) u – v

f ) 5u – 3v

a) 2u = 2 · (–3, 5, 1) = (–6, 10, 2) b) 0 · v = (0, 0, 0) c) –u = –(–3, 5, 1) = (3, –5, –1) d) 2u + v = 2(–3, 5, 1) + (7, 4, –2) = (1, 14, 0) e) u –v = (–3, 5, 1) – (7, 4, –2) = (–10, 1, 3) f) 5u – 3v = 5(–3, 5, 1) –3(7, 4, –2) = (–36, 13, 11) 2. Sean los vectores x(1, –5, 2), y(3, 4, –1), z(6, 3, –5), w(24, –26, – 6). Halla a, b, → → → → c para que se cumpla: a x + b y + c z = w a (1, –5, 2) + b (3, 4, –1) + c (6, 3, –5) = (24, –26, –6) (a + 3b + 6c, –5a + 4b + 3c, 2a – b – 5c) = (24, –26, –6)
Unidad 5. Vectores en el espacio
→ → → → → → →→ → →

3v →

5v

→

v→

→

→

3

a + 3b + 6c = 24   –5a + 4b + 3c = –26  2a – b – 5c = –6  



1 3 6 –5 4 3 = –92 2 –1 –5



a=

 

24 3 6 –26 4 3 –6 –1 –5 –92 1 3 24 –5 4 –26 2 –1 –6 –92

 

=

–552 = 6; b = –92



1 24 6 –5 –26 3 2 –6 –5 –92



=

184 = –2 –92

c=

=

–368 =4 –92
→ → → →

Solución: a = 6, b = –2, c = 4, esdecir, 6x – 2y + 4z = w.

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1. Dados los vectores u (5, –1, 2), v (–1, 2, –2), calcula: a) u · v
→ → → → → →

b)  u  y  v 

→

→

c) ( u, v )
→ → →

→ →

d) Proy. de u sobre v y proy. de v sobre u. e) ¿Cuánto ha de valer x para que el vector (7, 2, x) sea perpendicular a u ? a) u · v = –5 – 2 – 4 = –11 b)  u  = √25 + 1 + 4 = √30 ≈ 5,48  v  = √1 + 4 + 4 = √9 = 3 c) cos( u, v ) =
→ → → → → → → → → → →

u·v

 u  v
→

=

→ → –11 ≈ –0,669 → ( u, v ) = 132° 1' 26'' √ 30 · 3 →

d) Proy. de u sobre v =

u·v v 
→

→

=

–11 = –3,67 3
→ →

Significa que el vector proyección de u en la dirección de v tiene módulo 3,67 y → sentido contrario al de v. Proy. de v sobre u =
→ → →

u·v u 
→

→

=

–11 ≈ –2,008 √ 30 –33 2
→

e) (5,...