Vectores en el plano
Vectores en el plano
El plano cartesiano permite asociar a cada punto del plano, un par ordenado de números reales, que son sus coordenadas rectangulares, como en la figura de la derecha.
Ahora bien, si se considera el segmento de recta que une el origen de coordenadas (el punto ) con el punto y se supone que representa el desplazamiento de un objeto cualquiera desde hasta ,puede también representarse gráficamente este desplazamiento en el plano cartesiano. (Observa la figura de la izquierda)
El segmento de recta tiene una magnitud (la medida del segmento ), una dirección (la inclinación del segmento con respecto al eje de las abscisas) y tiene un sentido u orientación (desde hacia ).
Estas tres cualidades: magnitud, dirección y sentido definen lo que es unvector en el plano. En el caso del vector de la figura anterior, el cual se denota , se denomina 'origen' al punto y 'extremo' al punto .
Por lo pronto, se considerarán sólo vectores con origen en el punto del plano cartesiano. Así, por ejemplo, si el punto tiene coordenadas (1,4), estas coordenadas definen al vector que se muestra en la figura de la derecha.
También seusan letras para denotar vectores, cuando no es preciso especificar cuál es el origen (como es el caso ahora).
El vector se representa en la figura siguiente con el objeto de resaltar el hecho siguiente: tiene la misma dirección que y la misma magnitud, pero sentido opuesto. (Observa la figura de la izquierda)
(-1,-4) son las coordenadas del vector . En la Física son usados con frecuencialos vectores para representar fuerzas aplicadas a objetos, pues el resultado de aplicar una fuerza determinada depende de la magnitud, la dirección y el sentido con que es aplicada. Por ejemplo, si los vectores y de la figura anterior representan dos fuerzas aplicadas a un objeto ubicado en , simultáneamente, entonces el objeto no se movería en absoluto, porque el resultado de aplicar fuerzasiguales en magnitud y dirección pero sentido opuesto es la anulación de una fuerza por la otra. En términos algebraicos, también se anulan:
Esto es lo que ocurre cuando dos personas juegan a 'hacer pulso' y ambas ejercen idéntica fuerza en magnitud y dirección, pero en sentido contrario: las manos agarradas de los contrincantes no se mueven, a pesar de que hay fuerzas intentando moverlas.Suma y resta de vectores
Dados dos vectores , en el plano, con, , se define la suma como:
Gráficamente, para construir el vector suma , se procede así: Se traza el siguiente paralelogramo a partir de los lados y , y luego se traza la diagonal desde hacia el vértice opuesto.
La diagonal trazada es el vector resultante de sumar y .
Ejemplo: (Ver figura dela izquierda)
, ,
Dado un vector , su opuesto es el vector ; es el único vector que sumado a da el vector nulo como resultado:
Por ejemplo, el vector opuesto del vector es
Como se aprecia en la figura anterior, es el vector ubicado sobre la misma recta que contiene a , tiene su misma magnitud, pero sentido contrario. La resta de vectores no es más que la suma de másel opuesto de :
Por ejemplo: ; ;
Magnitud o módulo de un vector
La magnitud de un vector en el plano es la medida de su longitud. Para calcular la magnitud de un vector, llamada también módulo de , conociendo sus coordenadas, se utiliza la siguiente fórmula:
Módulo de :
Esta fórmula es una aplicación del Teorema de Pitágoras, como se ve en la figura dela derecha.
El triángulo es rectángulo y es la hipotenusa. Por lo tanto, . Es decir,
ó
Ejemplo: El módulo del vector es , pues
Multiplicación de un vector por un escalar
Se llaman escalares a los números reales, cuando se está trabajando con vectores en el plano cartesiano. Todo vector se puede multiplicar por un escalar , es...
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