Vectores En El Plano

VECTORES EN EL PLANO

Vector fijo: Un vector fijo es un segmento orientado. El vector [pic] es un vector de origen en el punto A y extremo en B.
Ejemplo: Si A(1,2) y B(3,1). Se representa [pic] de la siguientes forma:






Los elementos que definen un vector son tres:
Módulo: Longitud del segmento [pic]. Y se escribe [pic]
Dirección : Es la recta sobre la que se encuentra el vector.Sentido: El que indica la punta de la flecha.

Suma de vectores: Dados los vectores [pic] y [pic]. Para representar el vector suma se lleva uno a continuación de otro. Se hace coincidir el origen del segundo con el extremo del primero.
Casos: a) De igual dirección :
- Con igual sentido: es un vector con igual dirección y sentido y módulo la suma de los módulos de ambos
-Con distinto sentido: es un vector con igual dirección, sentido el del mayor módulo y módulo la diferencia de los dos dados.
b) De distinta dirección: es un vector con distinta dirección, distinto sentido y módulo = [pic]; con α el ángulo entre los dos vectores; o sea el ángulo entre las rectas dirección de los dos vectores.

Producto de un escalar por un vector: es otro vectorde igual dirección, igual sentido o distinto dependiendo de si el número es positivo o negativo y de módulo el producto del valor absoluto del número por el módulo del vector dado.

Módulo de un vector:
Sea el vector dado por los puntos A(0,1) y B(-1,2).
Si no fijamos en el triángulo que se forma, es rectángulo y podemos usar Pitágoras:
Hipotenusa = [pic]
. Tendremos [pic]
Engeneral para hallar el módulo del vector [pic]; con A(a,b) y B(a’,b’) haremos [pic]=[pic]
Vectores equivalentes: Son aquellos con igual módulo, dirección y sentido.
Ejemplo:


Vector libre: Es el conjunto de vectores que son equivalentes entres sí. Para representarlo cogemos como representante aquel que tiene por origen el (0,0,0).
Por ejemplo el vector libre (2,1)= [pic]
Estarán todos los quela diferencia entre las coordenadas del punto origen y extremo de cómo resultado (2,1).

Combinación lineal de vectores: Una combinación lineal de los vectores [pic]; [pic] y [pic] es una expresión de la forma: λ[pic]+ μ [pic]+ δ[pic]; con λ,μ, y δ números reales.
Se dice que [pic] se puede escribir como combinación lineal de los vectores[pic]; [pic] y [pic] si [pic] se puede escribir de laforma [pic]= λ[pic]+ μ [pic]+ δ[pic]; con λ,μ, y δ números reales.

Vectores linealmente dependientes: Un conjunto de vectores se dice que es l.d. cuando uno cualquiera se puede escribir como combinación lineal del resto.
Ejemplo: (2,1)= 2·(1,0)+1·(0,1). Se dice que [pic] son l. d.
Otra forma de definirlo es: Un conjunto de vectores se dice que l. d. cuando podemos escribir el vector[pic]como combinación lineal de ellos sin que los coeficientes sean todos ceros. Ejemplo [pic] son l. d. por que (2,1)= 2·(1,0)+1·(0,1); entonces (0,0)=(-1)·(2,1)+ 2·(1,0)+1·(0,1); con al menos el coeficiente de (2,1) no es cero.

Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores se dice que es l.i. cuando ninguno se puede escribir como combinación lineal del resto. O de otra forma, siel vector cero [pic] se puede expresar como combinación lineal de ellos todos los coeficientes son 0.
Ejemplo: [pic]. Si (0,0)=α(-1,0)+β(0,1); necesariamente α y β deben ser 0.

Base: Un conjunto de vectores forman una base en el plano si: cualquiera vector del plano se puede escribir como combinación lineal de ellos y además son l.i.

Consecuencia de las definiciones anteriores:

a) Elconjunto [pic] es siempre l. dependiente ya que siempre podremos escribir el vector [pic] como combinación lineal de los demás[pic]
b) Gráficamente dos vectores son l.d. son dos vectores de igual dirección.
c) Gráficamente dos vectores son l.i. son dos vectores de distinta dirección.
d) Dados dos vectores l.i., ai considero un tercero éste siempre se puede expresar como combinación lineal de los...