Vectores en r2 y r3

VECTORES EN R2 Y R3

VECTORES EN R2 Y R3.
Para iniciar el desarrollo de este tema, empezaré por dar una breve introducción al sistema de coordenadas para el espacio tridimensional, considerando que el sistema de coordenadas para el espacio bidimensional es conocido ampliamente. EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL. Así como los puntos de un plano se ponen en correspondencia con pares ordenados de númerosreales, los puntos del espacio tridimensional se pueden poner en correspondencia uno a uno con tríos ordenados de números reales, usando tres rectas coordenadas mutuamente perpendiculares llamadas ejes. De este modo se forma un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares para el espacio tridimensional al punto de intersección se le llama origen del sistema de coordenadas y se usan lasletras X, Y, Z para denotar dichos ejes. Cada pareja de ejes coordenados determina un plano llamado plano coordenado. Se distinguen así los planos XY, XZ yYZ. Estos planos dividen el espacio en ocho octantes. El sistema permite asociar a cada punto P del espacio tridimensional un trío (a, b, c ) llamadas las coordenadas de P . Cuando escribimos P(a, b, c) ”. Estamos asociando al punto P con suscoordenadas las cuales representan: a: b: c:
es la distancia dirigida del punto P al plano YZ. es la distancia dirigida del punto P al plano XZ es la distancia dirigida del punto P al plano XY.

Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientación derecha o de orientación izquierda. Un sistema derecho tiene la propiedad de que cuando los dedos de la mano derecha se doblen de modo queapunten del semieje positivo X al semieje positivoY, entonces el pulgar apunta en la dirección del eje Z positivo. Z Z

Y X Derecho Y Izquierdo

X

La distancia entre dos puntos del espacio: Dados los puntos P (x1 , y1 , z1 ) , P2 (x2 , y2 , z 2 ) , la distancia d entre P y P2 está dada por: 1 1 d= Punto medio: El punto medio del segmento que une los puntos P (x1 , y1 , z1 ) y P2 (x2 , y2 , z 2) tiene 1 coordenadas  x1 + x2 y1 + y2 z1 + z 2  , ,   2 2   2 1

(x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2

Prof. Luis Núñez

VECTORES EN Rð Y Rñ

Vectores en el Plano Hay una concepción geométrica del significado de un vector y una concepción algebraica, ambas compatibles. Empezaremos con el enfoque geométrico. Segmento dirigido PQ es el segmento de recta con origen o inicio en Py final o extremo en Q. Notar que Q P v P’ Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. PQ ≡ P ′Q ′ v se representa trasladando PQ al origen de coordenadas de R2 El segmento (de recta) dirigido con punto inicial en el origen se dice que está en posición canónica o posición normal. Los dos segmentos representados en el gráfico, son representantesdel vector v. 1 Se puede considerar que existen en el plano infinitos vectores equivalentes a un segmento dirigido dado. DEFINICIÓN. El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un segmento dirigido PQ dado, es un vector en el espacio. El vector cero es el vector para el cual P=Q. Un segmento orientado en posición canónica se puede caracterizar dando sólo las coordenadas de su puntofinal. Luego existe una correspondencia biunívoca entre R 2 y, el conjunto de todos los segmentos orientados en posición canónica. En virtud de esta correspondencia se presenta una definición algebraica para vectores en el espacio bidimensional DEFINICIÓN. Un vector en el espacio bidimensional es un par ordenado de números reales que denotaremos por v = (v1 , v2), los números v1 y v2 se denominancomponentes de v Dado un segmento orientado P P2 , la expresión en componentes del vector v representado 1
→ → → →
→

PQ ≠QP

→

→

Q’

Las propiedades que caracterizan un segmento dirigido son su magnitud o módulo, su dirección y su sentido. No obstante dos segmentos que sean coincidentes en estas características son distintos si no son coincidentes en el origen

por P P2 es v =...