Vectores en tres dimensiones

c) Componentes de un vector en el espacio tridimensional
El procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se extiende al espacio tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector Aen tres dimensiones se representa con su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean  las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector A (recuerdaque A y  representa el mismo vector) con punto inicial en O. Los vectores  reciben el nombre de componentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en las direcciones de x, y, y zrespectivamente. Por comodidad en la notación cada vector componente se expresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada eje. A estos vectores unitarios se les designa por donde:Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de la siguiente manera.



donde  son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea lasproyecciones del vector sobre los ejes x, y y z.

De esta manera el vector queda expresado así 
Dirección de un vector en tres dimensiones
La dirección del vector A en tres dimensiones se puede obtener dedos maneras:
a) por medio de los cosenos de los ángulos directores
Son los ángulos que el vector forma con cada eje.
 = ángulo entre el vector y el eje x
  = ángulo entre el vector y el eje y
  =ángulo entre el vector y el eje z
Los cosenos son respectivamente



b) por medio de los ángulos  y  de las coordenadas esféricas
Definimos dos ángulos;  como el ángulo que hace el vector conel eje Z y  como el ángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo ( ver figura ). Estos ángulos están dados de la siguiente forma:

A las variables se les llamacoordenadas esféricas. En nuestro caso r = A. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar de la siguiente forma.


d) Suma de vectores en el espacio
La suma de vectores en el...