vectores polinominales

Generalizaciones de la teoría de
integrabilidad de Darboux para
campos de vectores polinomiales

Yudy Marcela Bolaños Rivera
Departamento de Matemáticas.
Universidad Autónoma de Barcelona.

Directores:

Dr. Jaume Llibre
Dra. Claudia Valls
Mayo de 2013.

Generalizaciones de la teoría de
integrabilidad de Darboux para campos de
vectores polinomiales

Yudy Marcela Bolaños RiveraMemoria presentada para aspirar
al grado de Doctor en Matemáticas.
Departamento de Matemáticas.
Universidad Autónoma de Barcelona.
Certificamos que esta memoria ha sido
realizada bajo nuestra supervisión.
Mayo de 2013.

Dr. Jaume Llibre.

Dra. Claudia Valls.

Agradecimientos
Es un buen momento para reconocer y agradecer a todas las personas
e instituciones que han hecho posiblellevar a término el desarrollo de este
trabajo.
En el transcurso de estos años de estudio me he ido familiarizando y
asimilando conocimientos sobre el tema de esta memoria. Todo eso está muy
bien. Pero no menos importante son las personas que he encontrado a lo
largo de este camino y que me han acompañado. Comienzo por mencionar
al profesor Jaume Llibre, le agradezco por aceptarme pararealizar esta tesis
doctoral bajo su dirección. Sus orientaciones oportunas y certeras, su ejemplo
de trabajo y su persona han sido para mí un gran estímulo y un gran medio
de aprendizaje. Muchas gracias por su apoyo académico, por su tiempo, por
su disponibilidad y por su comprensión. Estas lecciones también han sido
muy valiosas y es lo que ha hecho posible la realización de este trabajo.También deseo agradecer sinceramente a Claudia Valls por la oportunidad
de compartir con ella parte de este camino, a pesar de las distancias he notado
su disposición de ayuda, le agradezco sus oportunos aportes y el ánimo que
me ha dado en el desarrollo de este trabajo.
Al personal académico y administrativo del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona también quieroagradecer
por haberme brindado todo el apoyo técnico necesario, además por el trato
amable y cercano que he encontrado en todas las personas con las que me he
relacionado.
Finalmente, tengo presente a muchas personas que en una forma indirecta
pero importante han contribuido en esta etapa de mi vida. No puedo dejar
de agradecer el apoyo de mi familia, mis padres y hermanos. Gracias por suconfianza y por su solicitud. Y a la “familia”que he encontrado aquí durante
esta estancia en España, con la que he compartido estos años. Gracias por
brindarme el apoyo material y moral que he necesitado. Ha sido un gran
regalo que me ha facilitado llegar hasta el final de esta experiencia.

Contenido
1 Introducción
1.1 Integrales primeras racionales para campos de vectores polinomiales sobrehipersuperficies regulares algebraicas de Rn+1 . .
1.2 Sobre el número de esferas n–dimensionales invariantes en campos vectoriales polinomiales de Rn+1 . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sobre el número de cónicas invariantes de campos vectoriales
polinomiales definidos en una cuádrica . . . . . . . . . . . . .
1.4 Integrales primeras Liouvillianas para sistemas cuadráticos con
una silla integrable .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Retratos de fase de los sistemas cuadráticos Lotka–Volterra con
un invariante Darboux en el disco de Poincaré . . . . . . . . .
1.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
.

1

.

8

. 11
. 12
. 17
. 21

2 Integrales primeras racionales de campos vectoriales polinomiales sobre hipersuperficiesregulares algebraicas de Rn+1
2.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Extensión del resultado de Jouanolou . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Cuando Ω es una cuádrica o un 2–toro . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Algunas superficies algebraicas Ω . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Cúbica...