Vectores Propios

ETSII-UPM

Tema 6:
Métodos numéricos para cálculo
de valores y vectores propios
Álgebra II (Plan 2000) – Grupo M1
Madrid, 29 de marzo de 2004
Javier García de Jalón
ETSII - Departamento deMatemática Aplicada
a la Ingeniería Industrial

Programa
ETSII-UPM

Métodos numéricos para cálculo de valores y vectores propios
Acotación de valores propios: círculos de Gerschgorin.
Métodospara el cálculo de un único valor y vector propio: métodos de la
potencia directa e inversa.
Desviación de la convergencia a otros valores y vectores propios.
Cálculo de varios valores propios:método de la iteración simultánea.
Métodos para el cálculo de todos los valores propios de una matriz: reducción
previa a forma tridiagonal o de Hessenberg.
Método de Jacobi.
Método QR.Observaciones:
Nótese que la teoría sobre los círculos de Gerschgorin ya se ha incluido en el
Tema 3.

Familias de métodos
ETSII-UPM

Existen muchos métodos de cálculo, pero no existe un método quesiempre sea claramente superior a los demás.
El método a utilizar en un cálculo concreto depende de:
El tipo de problema y las características de las matrices (simétricas, definidaspositivas, grandes ode pequeño tamaño, ...).
El número de valores y vectores propios que se desea calcular. En ciertas
ocasiones se pretende calcular todos, y en otras sólo uno o unos pocos; a veces
sólo se necesitanlos valores propios, etc.

Algunas de las familias de métodos más importantes:
Métodos basados en la iteración de matrices.
Métodos basados en transformaciones de semejanza.
Métodos basados entransformaciones de congruencia.
Métodos basados en la descomposición QR.

En este Tema se considerarán exclusivamente matrices reales y
simétricas.

Método de la iteración directa (1/3)ETSII-UPM

Este método calcula el mayor valor propio en valor absoluto:
λ1 < λ2 < ... < λn
El algoritmo básico es el siguiente:
Se parte de un vector inicial arbitrario de norma unidad.

y0 = 1...