Vectores teoria CBC

Pr´ctica 1
a

Vectores en R2 y R3
1.1.

Definiciones y Propiedades

Una flecha, que sirve para representar cantidades f´
ısicas (fuerzas, velocidades), es un vector. Para dar un vector necesitamos un origen (A) y un extremo (B) que lo determinan totalmente, proporcionando su direcci´n, longitud
o
y sentido.

v
Vectores equivalentes son los que tiene igual direcci´n, longitud ysentido.
o
Los siguientes vectores son todos equivalentes a v

Los vectores se pueden sumar. La suma (v + w), de v y w es equivalente a
una de las diagonales del paralelogramo de lados v y w.

w
v

v+w

Tambi´n se puede multiplicar un vector por un n´mero (escalar).
e
u

½v

v

-½ v

2v

El resultado es un vector de igual direcci´n que el dado, el n´mero afecta la
o
u
longitudy el sentido del vector.
a
u
En el plano R2 los puntos est´n dados por pares de n´meros reales (sus
coordenadas); para dar un vector bastar´ dar dos pares de n´meros reales que
a
u
caractericen su origen y su extremo.
−
−
→
v = AB est´ dado por A = (1, 2) y B = (5, 3)
a
−
−
→
w = OC est´ dado por O = (0, 0) y B = (2, 1)
a

9

´
PRACTICA 1. VECTORES EN R2 Y R3

10

y
B3
2

A
C

1

O

1

2

x

5

Algo an´logo se puede decir en el espacio de tres dimensiones R3 ; ahora,
a
cada punto, en particular el origen y el extremo de un vector, estar´ dado por
a
una terna de n´meros reales.
u
−
−
→
v = AB est´ dado por A = (2, 4, 3) y B = (4, 10, 6)
a
−
−
→
w = OC est´ dado por O = (0, 0, 0) y B = (2, 0, 0)
a

z
v

B

A
O

y

Cx
En adelante trabajaremos con vectores cuyo origen O tiene todas sus coordenadas iguales a cero (O = (0, 0) en R2 , O = (0, 0, 0) en R3 ) identificado
−
→
entonces el punto A con la fecha OA.
2
Dados A y B en R , A = (a1 , a2 ) y B = (b1 , b2 ), definimos la suma
A + B = (a1 + b1 , a2 + b2 )
y el producto por un escalar c ∈ R
cA = (ca1 , ca2 ).
An´logamente, en R3 , si A = (a1 , a2 , a3) y B = (b1 , b2 , b3 ), la suma
a
A + B = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
y el producto por un escalar c ∈ R
cA = (ca1 , ca2 , ca3 ).

´
PRACTICA 1. VECTORES EN R2 Y R3

11

Propiedades:
A + (B + C) = (A + B) + C
A+B =B+A
Si c ∈ R, c(A + B) = cA + cB
Si c1 ∈ R y c2 ∈ R, (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A y (c1 · c2 )A = c1 (c2 A)
O+A=A
1A = A
A + (−1)A = O
OA = O
Notaci´n:
o

−A =(−1)A

Propiedades: En este contexto,
−
−
→
−→
−
−
−
→
AB es equivalente a CD si y s´lo si D − C = B − A; en particular, AB es
o
−
−
→
equivalente a OP si y s´lo si P = B − A.
o
−
−
→ −→
−
AB y CD son paralelos o tienen igual direcci´n si existe k en R, k = 0 tal
o
−
−
→ −→
−
que B − A = k(D − C). Si k > 0, AB y CD tienen igual sentido; si k < 0,
−
−
→ −→
−
AB y CDtienen sentidos opuestos.

Longitud de un vector
En R2 , si v = (v1 , v2 ), la norma o longitud de v, que notaremos v , es
2
2
v = v1 + v 2 .

v2
v
v1
An´logamente, en R3 , si v = (v1 , v2 , v3 ) la norma o longitud de v es v =
a
2
2
2
v1 + v 2 + v 3
Propiedades:
Si A = O, entonces A = 0; A = O, entonces A > 0.
A = −A .
Si c ∈ R cA = |c| · A .
Desigualdad triangular: A + B ≤A + B .

´
PRACTICA 1. VECTORES EN R2 Y R3

12

Si A y B son dos puntos de R2 , la distancia entre A y B es la longitud del
−
−
→
vector B − A (equivalente a AB) y se nota d(A, B) = B − A

B
A

B–A

An´logamente, en R3 , la distancia entre dos puntos A y B es d(A, B) =
a
B−A .
Un vector A se dice unitario si A = 1.

´
Angulo entre dos vectores
Llamaremos angulo entre A yB al ´ngulo θ(A, B) que determinan los dos
´
a
vectores y verifica 0 ≤ θ(A, B) ≤ π.

B

A

Producto interno o escalar
Dados dos vectores A y B llamaremos producto interno (o escalar) de A y
B al n´mero real A · B = A B cos θ con θ = θ(A, B)).
u
Propiedad:
A·B =

1
2

B

2

+ A

2

− B−A

2

.

En particular si A y B son vectores en el plano, A = (a1 , a2 ) y B =...