Vectores y componentes rectangulares suma y resta

VECTORES Y COMPONENTES RECTANGULARES
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes. En la figura 1 se ilustra esto.

Figura 1
En esta figura el vector rojo tiene como componentes los vectores azules. Estos últimos sumados componen al vector rojo.
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares.En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.

Figura 2
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones:


Ejemplo:
Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º. Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.
Solución:
Calculemos las respectivas componentes:

El resultado nos lleva aconcluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3

Figura 3
 
COMPONENTES RECTANGULARES
Cuando vamos a sumar vectores, podemos optar por descomponerlos en sus compnentes rectangulares y luego realizar la sumavectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direccioones x e y.
A continuación ilustramos este método mediante un ejemplo. Este será en la mayor parte de los casos el que usaremos a través del curso.
Ejemplo:
Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.

Figura 1.
Lo primero que debemos hacer esllevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2

Calculemos las componentes rectangulares:

A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las compnentes en Y:

Representemos estos dos vectores en el plano cartesiano y de una vez compongamoslos (sumemoslos vectorialmente). Ver figura 3:

Método de las ComponentesRectangulares... ..... Se utiliza cuando hay que calcular el Módulo y Dirección de la resultante de 2 ó más vectores.
Símbolos  que pueden aparecer en una gráfica
→A = Vector
Ax= Componente horizontal  del vector  A
Ay= Componente vertical de A
Ө = Dirección (Ángulo Teta) 
α = Ángulo Alfa
β = Ángulo Beta
→R = Vector resultante.
EJERCICIO 1
Dado el vector →B y los puntos (o,o)m/s y (4,7)m/s;calcular:
a) Componentes rectangulares.
b) Módulo.
C) Dirección.
D) Ángulos directores.

Paso 1: Graficar en un plano cartesiano los datos dados, esto nos ayudará a comprender mejor el problema.

 

Pasó 2: Para encontrar las componentes rectangulares en este caso como nos han dado coordenadas, en este caso se restan de la siguiente manera:

Bx= x2-x1                       By= y2-y1
Bx=(4-0) m/s        By= (7-0) m/s
Bx= 4m/s               By= 7m/s

→B= (4,7)m/s  
         ↑
Es de esta manera que se debe expresar las componentes rectangulares.

Paso 3: El módulo es fácil encontrar una vez que hemos encontrado las componentes rectangulares, a través del "Teorema de Pitágoras" así:

              El módulo será igual a ↑

Pasó 4: Para encontrar la dirección debemos aplicarla sencilla fórmula de tangente de Ө  (ángulo teta) seguida de la fórmula tangente a la -1, observa:
                  
      tanӨ= By/Bx
      tanӨ= 7m/s/4m/s   ← observa, debemos simplificar los metros y segundos 
      tanӨ= 1,75
           Ө=(tan-1 de 1,75 )
           Ө=60,26°

Paso 5: Si necesitamos encontrar los ángulos directores (α y β) debemos usar la fórmula de coseno, (en lacual se usará el módulo), seguida de la fórmula coseno a la -1, como mostraré a continuación.

cosα= Bx/→B                         cos β= By/→B       
cosα= 4m/s/8,06m/s               cos β= 7m/s/8,06m/s
cosα= 0,496                           cos β= 0,868
α =(cos-1 de 0,496)                β =(cos-1 de 0,868)
α = 60,26°                              β= 29,77°

Como ↑ te darás cuenta α...