Vectores y geometría del espacio

Vectores y geometría del espacio
Definición de campo vectorial
Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.
Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde  representa el espacio vectorial que hace las veces de dominioy  el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.
Subespacio vectorial
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorialcon las mismas operaciones que V.
Sea  un espacio vectorial sobre  y  no vacío,  es un subespacio vectorial de  si:


Sistemas de coordenadas tridimensionales
un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.
Sistema de coordenadas polares[editar]

Artículo principal: Coordenadaspolares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y unadistancia.

Sistema de coordenadas cilíndricas[editar]

Significado de las coordenadas cilíndricas.
Artículo principal: Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas  se usa para representar los puntos de un espacioeuclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambospuntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas[editar]

Artículo principal: Coordenadas esféricas
Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortanen el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.
Coordenadas geográficas[editar]
Artículo principal: Coordenadas geográficas

Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay variostipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:
DD --- Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500
DM --- Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0
DMS -- Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00
También se puede definir las coordenadas de unpunto de la superficie de la Tierra, utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.
Coordenadas curvilíneas generales[editar]
Artículo principal: Coordenadas curvilíneas
Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de unespacio localmente euclídeo o variedad diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si tenemos un espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:


Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:


Si el espacio localmente...