vectores y geometria en el espacio

CUVALLES - UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

VECTORES Y GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL PLANO
En el campo de la Física y las Matemáticas se pueden identificar dos cantidades diferentes: los escalares
y los vectores.
Un escalar es un número real o una cantidad con magnitud. Por ejemplo, mediciones de longitud,
temperatura y masa se representan porescalares que pueden ser en unidades de metros, °C y kg.
Un vector, geométricamente, es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección. El peso y la
velocidad son ejemplos de vectores (medidos en kgf y en m/s, por mencionar alguna unidad).
Para denotar un vector se hace por medio de un segmento de línea
dirigido (su punto inicial junto a su punto final, ambas unidas por una
flechaencima, o bien, ambos puntos representados por un único
símbolo con la flecha encima) o mediante una letra en negritas:

B

A

COMPONENTES
En general, un vector

en ℝ2 es cualquier par ordenado de números reales representado por
, o bien,
, donde
es el llamado
“componente horizontal” y
es el “componente vertical”.
Estos valores se obtienen considerando que, como un
segmento de rectadirigido, el punto inicial se ubica en
y el final en
.
El llamado vector posición,
origen
y termina en
como
.

, es aquel que inicia en el punto
, por lo que se representa

Definición 1 (Suma, multiplicación escalar e igualdad de vectores)
Sean dos vectores
,
i) Suma:
ii) Multiplicación por un escalar:
iii) Igualdad:
si, y sólo si

.

.

APUNTES: PROFRA. KARINA RODRIGUEZCUVALLES - UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
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Gráficamente esto se puede visualizar como:

PROPIEDADES DE LOS VECTORES
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ix)

(ley conmutativa)
(ley asociativa)
(identidad aditiva)
(inverso aditivo)
para k un escalar
para k1, k2 escalares
para k1, k2 escalares
(identidad multiplicativa)
donde
es el “vector cero”.MAGNITUD O NORMA
Con base en el Teorema de Pitágoras, la magnitud de un vector

se define como

Por tanto, es obvio que
para cualquier vector
, esto es,
si y sólo si
Toma en cuenta que la magnitud, aunque se obtiene de un vector, es un escalar.

VECTOR UNITARIO
Es aquel cuya magnitud es 1. El vector

es un vector unitario, ya que:

APUNTES: PROFRA. KARINA RODRIGUEZ

.

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COORDENADAS RECTANGULARES Y VECTORES EN EL ESPACIO
Se sabe que para localizar un punto en un plano se necesitan dos números (reales), que forman el par
ordenado
, donde a es la coordenada x y b es la coordenada y. Por ello se le llama bidimensional.
Para ubicar un punto en el espacio se requieren de 3
números,
, de números reales, querepresentan las
coordenadas de cada uno de los 3 ejes que lo forman, el eje
x, el eje y, y el eje z, cuya orientación se determina por la
regla de la mano derecha.

Los tres ejes de coordenadas determinan los tres planos
coordenados (el plano xy, el xz, y el yz), que dividen al
espacio en ocho partes, llamadas octantes.

FÓRMULA DE DISTANCIA
Si la distancia entre dos puntos

essiendo que ésta es la proyección sobre el plano xy en el
espacio, la distancia para
es:

FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO
Dados dos puntos en el espacio
segmento que les une, y está dado por

, es posible encontrar el punto medio del

VECTORES EN EL ESPACIO
Un vector a en el espacio se representa por la tripla de números reales
.

, o bien,

APUNTES: PROFRA. KARINA RODRIGUEZ

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Definición 2 (vectores en el espacio)
Sean
i) Suma:
ii) Multiplicación por escalar:
iv) Igualdad:
v) Negativo:
vi) Resta:
vii) Vector cero:
viii) Magnitud:

dos vectores en el espacio ℝ3, y k un escalar.
si y sólo si

.

PRODUCTO PUNTO
Definición 3 (también producto escalar)
, denotado por

El producto punto de dos...