Vectores Y Matrices

ING. CIVIL
NOMBRE DE LA MATERIA:
METODOS NUMERICOS

NOMBRE DE LA TAREA:
VECTORES Y MATRICES

GRUPO:
4C1

ALUMNO:
JAVIER JESUS VALLE DOMINGUEZ

NOMBRE DEL MAESTRO:
ING. CARLOS MANUEL BAEZA DORANTES

FECHA:
3– DICIEMBRE - 2012

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bienla multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedadde conmutatividad.

1.1 Multiplicación de una matriz por un escalar

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:
 Que se escribe genéricamente como 

La multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:
 Que se escribe genéricamente como 

En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar lamisma matriz tantas veces como indique el escalar:

1.2 Multiplicación de una matriz por otra matriz
Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:
  y 

La multiplicación de A por B, que se denota  o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

Donde cada elemento ci,j está definido por:Es decir:
   

Aplicaciones
La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo de microarrays, enel área de bioinformática.
Sistemas de ecuaciones
Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x1,x2) hacen corresponder el punto N(y1,y2) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, por ejemplo, elsistema:
|    se escribe de forma matricial así:      | |
Como se ve, en la notación matricial, las variables sólo aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.
Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definióarriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

obtenemos:

Por lo tanto se define el producto de matrices así: | |

Ejercicios
Dadas las matrices:
Calcular: AxB
SOLUCION:

Dada una matriz A = y un número real k=2,calcular kA
SOLUCIÓN
k · A=

Método de Gauss-Jordán

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordán, llamada así debido a Carl Friédrich Gauss y Wilhelm Jordán, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediantela reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordán continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordán
1. Ir a la columna no cero extrema...