vectores y su historia

Vectores en Rn
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
18 de julio de 2009
´I
ndice
5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.3. Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.4. Igualdad entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.5. Suma entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.6. Producto por escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.7. Propiedades . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.8. Aplicaciones de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.9. Combinaci´on lineal entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.10. Aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 6
5.11. Combinaci´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.12. SEL vs Combinaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1. Introducci´on
En este apartado se introduce el concepto de vectores en el espacio n-dimensional: se definen las operaciones
de suma devectores y el producto de un escalar por un vector. Tambi´en se introduce uno de los conceptos
m´as importantes del curso: el de combinaci´on lineal entre vectores. Finalmente, se establece la relaci´on entre el
problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinaci´on
lineal de un conjunto de vectores.
5.2. Objetivos
Ser´a importante queUsted
entienda y opere con vectores en el espacio n-dimensional, y
entienda y mecanice el proceso de soluci´on de un sistema como un proceso de determinaci´on de cierta
combinaci´on lineal.
5.3. Vector
Definici´on 5.1
Un vector n es arreglo vertical de n n´umeros reales de la forma:
x =

x1
x2
...
xn

0
00
0.5 1
0.5
1.5
0.5
2
1
1.5
1
2
1.5
2.5
3
2
Figura 1:Componentes de un Vector
Los elementos xi se llamar´an las componentes del vector y podr´an ser n´umeros reales cualquiera. Se referir´a a
n como la dimensi´on del vector x. El conjunto de todos los posibles vectores n se representar´a por Rn.
Ejemplo 5.1
El vector
x =

5
−3
8
−2

es un vector 4, es decir es un vector con 4 componentes. La componente 1 es 5, la componente 2 es -3,la
componente 3 es 8, y la componente 4 es -2 
En la figura 1 se ilustran las componentes de un vector en R3: el vector est´a en azul y las componentes son
los vectores en rojo que se obtienen en proyectar perpendicularmente el vector sobre los ejes.
5.4. Igualdad entre vectores
Definici´on 5.2
Dos vectores ~x y ~y se dicen vectores iguales si tienen la misma dimensi´on y las coordenadascorrespondientes
son todas iguales.
Ejemplo 5.2
Indique para que valor de x y y los vectores son iguales:
x =  x − 1
3  y =  y − 3
x + 1 
Soluci´on
Igualando componentes:
x − 1 = y − 3
3 = x + 1
Resolviendo primero para x y luego para y obtenemos:
x = 2 y = 4
2
0
0
0
1
0.5
2
z
1
3
1
4
y
2 1.5 2
x
4 3
Figura 2: Suma de dos vectores por Componentes
5.5. Suma entrevectores
Definici´on 5.3
La suma entre vectores ~x y ~y s´olo puede realizarse cuando los vectores tienen la misma dimensi´on, en cuyo
caso la suma se calcula:

x1
x2
...
xn

+

y1
y2
...
yn

=

x1 + y1
x2 + y2
...
xn + yn
 En la figura 2
se ilustra que el proceso de suma de dos vectores en R
3
que se efectua por medio de la regla
del...