Vectores y valores propios

Índice
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Introducción 2

1. Definición Valores y vectores característicos 3

2 Polinomio característico3

3 Diagonalización de matrices simétricas 4

4 Calculo del vector propio correspondiente al valor propio 5

5 Conclusión 6

6 Bibliografía7

Introducción
En este capitulo pretendemos estudiar los métodos numéricos mas importantes para calcular los valores y vectores propios de una matriz cualquiera. Es decir, dada una matriz A [pic] L(Rn), queremos hallar las [pic] C para las cuales [pic]x [pic]Cn con x" =0 tales que Ax = x, donde es un valor propio y x es elvector propio asociado a este valor propio.
Como los valores propios de una matriz son, también, las raíces de su polinomio característico p() = det(A - I), se podrá reducir el problema a calcular los ceros de este polinomio por alguno de los métodos ya vistos; pero, en general el calculo del polinomio característico de una matriz es excesivamente costoso y, además, pequeños errores en loscoeficientes pueden dar graves errores en sus raíces. Este tipos de resolución solamente se utilizara en matrices muy sencillas como, por ejemplo, las tridiagonales y simétricas. Para matrices cuales quiera tenemos, básicamente, dos tipos de métodos:
• Los métodos de tipo puramente iterativo, a través de los cuales, utilizando de forma reiterada un mismo tipo de transformación a la matriz inicial,se obtiene una sucesión de la cual se calculan uno o más valores propios. El mas conocido es el método de la potencia, que, asociado con métodos de deacion, nos permite ir hallando los distintos valores propios de la matriz.
• Los métodos basados en la factorización de alguna manera particular de la matriz A, para obtener iterativamente una sucesión de matrices con los mismos valores propiosque converge a una matriz triangular superior. Como veremos, estos algoritmos no se aplican directamente sobre la matriz inicial, sino que previamente se transforma la matriz a una forma reducida: Hessenberg superior, o tridiagonal si la matriz inicial es simétrica.
El cálculo de valores y vectores propios aparece, por ejemplo, en algunos problemas de mecánica, en las vibraciones de estructuras,en la optimización y estudio de la estabilidad de otros métodos numéricos iterativos, etc.

Definiciones

Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores puedenvisualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
• Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.[1]
• El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.• Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
• La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
• El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.

Polinomio característico...