Vectores y Valores Propios

Unidad 5: Vectores y Valores Propios
En álgebra lineal, los vectores propios, auto vectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, auto-valor, valor característico o eigenvalor. A menudo, unatransformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, auto espacio, eigenespacio o sub-espacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en estalista podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y portanto no varían su dirección.1
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación enespacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio es el eje de giro. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio delespectro (de esta rotación) que es un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que
Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es unvector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c.
De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un sub-espacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es un sub-espacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, elvector Aw también pertenece a Z.
Casos de interés especial
Intuitivamente, para las transformaciones lineales del espacio de dos dimensiones , los vectores propios son:
rotación: ningún vector propio de valores reales (existen en cambio pares valor propio, vector propio complejos).
reflexión: los vectores propios son perpendiculares y paralelos al eje de simetría, los valores propios son -1 y 1,respectivamente.
escalado uniforme: todos los vectores son vectores propios, y el valor propio es el factor de escala.
proyección sobre una recta: los vectores propios con el valor propio 1 son paralelos a la línea, vectores propios con el valor propio 0 son paralelos a la dirección de la proyección
Ecuación del valor propio o autovalor
Matemáticamente, vλ es un vector propio y λ el valorpropio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:

donde T(vλ) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un...