Vectores

Semana 1 - Clase 2

10/03/09

Tema 1: Algebra Vectorial

Componentes, coordenadas y cosenos directores 1. Bases, componentes y coordenadas

La formulaci´n de las leyes f´ o ısicas debe hacerse en t´rmino de cantidades vectoriales e (tensoriales). Esto independiza su formulaci´n de un sistema particular de coordenadas, peo ro llegado el momento de calcular valores y utilizar estas leyes,es mucho m´s conveniente a referirla a un sistema de coordenadas particularmente adaptado a la geometr´ del problema. ıa En ese caso la ecuaci´n vectorial se convertir´ en tantas ecuaciones como componentes (refeo a ridas al sistema de coordenadas utilizado) tenga los vectores en ese sistema de coordenadas Tal y como mencionamos anteriormente tres vectores no coplanares cualesquiera son linealmenteindependientes y constituyen una base para el espacio tridimensional. Denominaremos, de ahora en adelante estos vectores base {w1 , w2 , w3 } y por ser linealmente independientes podremos expresar cualquier vector a como una combinaci´n lineal unica. o ´ Con los vectores base {w1 , w2 , w3 } podemos construir un sistema (oblicuo en general) de coordenadas al colocarlos con un mismo origen. Estoes a = ξ 1 w1 + ξ 2 w2 + ξ 3 w3 donde las cantidades {ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 } son n´meros (no son escalares) que representan las compou nentes del vector a a lo largo de cada uno de los vectores base {w1 , w2 , w3 } . N´tese que por o costumbre (la cual ser´ evidente m´s adelante) etiquetamos estos n´meros con super´ a a u ındices y la letra que identifica el vector. − → M´s a´n, cada punto P del espacioviene definido por un radiovector r (P ) ≡ OP que a u une el origen de coordenadas con el punto P y se le asocian tres n´meros {x1 , x2 , x3 } , los u cuales son las proyecciones a lo largo de cada uno de los ejes coordenados 0x1 , 0x2 , 0x3 . Los n´meros {x1 , x2 , x3 } se denominar´n componentes de r (P ) en el sistema de referencia u a {w1 , w2 , w3 }. Existe una familia de sistema decoordenadas en la cual sus vectores base son ortogonales (o mejor ortonormales), es decir los vectores base {e1 , e2 , e3 } son perpendiculares entre si. Tal y como mostraremos m´s adelante, siempre se puede construir un sistema ortogonal a (ortonormal) {e1 , e2 , e3 } a partir de una base gen´rica de vectores linealmente indepene dientes {w1 , w2 , w3 } . Cuando el sistema sea ortogonal sus componentes sedenominar´n a rectangulares. Dependiendo del signo del triple producto mixto el sistema de coordenadas ser´ dextr´giro ((e1 × e2 ) · e3 > 0) o lev´giro ((e1 × e2 ) · e3 < 0). a o o Es costumbre ancestral, por relaciones de dominaci´n de los derechos sobre los izquiero dos (en lat´ e italiano los zurdos son siniestros) utilizar la convenci´n dextr´gira donde el ın o o producto: (e1 × e2 ) · e3 > 0,y en ese caso utilizamos el bien conocido conjunto de vectores

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

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Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 1: Algebra Vectorial

unitarios {i, j, k} con lo cual desde siempre tenemos que a = ax i + ay j + az k y r (P ) = x i + y j + z k . De ahora en adelante representaremos este sistema de coordenadas ortonormalcomo {i ≡ i1 , j ≡ i2 , k ≡ i3 } para recordar que estamos en un sistema de coordenadas cartesianas y utilizaremos los super´ ındices 1, 2, 3 para indicar las componentes del vector. a = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 y r (P ) = x1 i1 + x2 i2 + x3 i3 .

Obviamente el m´dulo del vector se podr´ expresar con la utilizaci´n del Teorema de o a o Pit´goras a (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 = |a| y la multiplicaci´npor un escalar o αa = α a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 = αa1 i1 + αa2 i2 + αa3 i3 Igualmente un vector unitario ˆ a= con lo cual todo vector ˆ a = |a| a = ˆ (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 a . a = |a| a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 ⇒ |αa| = α (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 y (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = |r (P )|

2.

Cosenos directores

Podemos construir tres tri´ngulos rect´ngulos con el...