Vectores

Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemosmedir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejesperpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas
CLASES DE VECTORES

—1.- Fijos o ligados :Llamados también vectores de posición. Son aquellos que tienen un origen fijo .Fijan la posición de un cuerpo o representan una fuerza en el espacio..-Vectores deslizantes : Son aquellos que pueden cambiar de posición a lo largo de su directriz.
—Ejemplo.



—3.- Vectores libres: Son aquellos vectores que se pueden desplazar libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir modificaciones.



4.- Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si las rectas que las contienen son paralelas.
Ejemplo.5.-Vectores coplanares: Cuando las rectas que lo contienen están en un mismo plano.
Ejemplo.



6.-Vectores concurrentes: Cuando sus líneas de acción o directrices se cortan en un punto.
Ejemplo.



7.-Vectores colineales: Cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta.
Ejemplo.



Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen comorepresentantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.


Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.Resta de vectores

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.







Producto de un número por un vector
El producto de un número k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentidocontrario del vector si k es negativo.
De módulo


Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.






Vector unitario
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
Normalizar un vector
Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado.
Para normalizar unvector se divide éste por su módulo.


Ejemplo
Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.


Producto punto
El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Ejemplo
Hallarel producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) • (4, −4, 1) = 1 • 4 + (1/2) • (−4) + 3 • 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo...