Vectores

Vectores, Rectas y Planos.
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wmora2@yahoo.com.mx Centro de Recursos Virtuales - CRV Revista digital Matemática, Educación e Internet Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica.

Walter Mora F.

CONTENIDO

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GEOMETRIA VECTORIAL 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 Introdución Vectores Notación Operaciones BásicasIgualdad Suma y resta Multiplicación por un escalar Propiedades de los vectores Producto punto y norma Propiedades del producto punto Norma

2 2 3 4 4 4 5 6 7 8 9 9

1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

Propiedades de la norma Ángulo entre vectores Paralelismo, perpendicularidad, cosenos directores. Proyección ortogonal Producto Cruz en R3 Propiedades del producto cruz

10 11 14 15 18 20

2RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Rectas Ángulo,paralelismo, perpendicularidad e intersección Planos. Ecuación vectorial, normal y cartesiana Paralelismo, perpendicularidad y ángulo Intersección entre recta y plano Distancia de un punto a una recta y a un plano.

23 24 26 29 33 38 39

Referencias

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CAPITULO 1

GEOMETRIA VECTORIAL

1.1 INTRODUCIÓN

Los vectores,que eran utilizados en mécanica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus “equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas queequivale al cálculo vectorial de hoy. El paso siguiente lo da Hamilton, quien inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de ‘vector’ producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado “cuaterniones”, muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física sonrepresentadas por medio del lenguaje de los vectores. En este tema, estudiaremos los vectores en Rn , las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D (en la versión en internet) para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

2 Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F.
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VECTORES

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1.2 VECTORES A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos (a, b) ∈ R2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a (0, 0) y cada (a, b) se asocia con un punto de coordenada a en larecta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y ).

Figura 1.1 Punto (a, b)

Analógamente, los elementos (a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

Figura 1.2 Punto (a, b, c)

Los vectores se puedenrepresentar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

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Figura 1.3 Vector (a, b)

Figura 1.4 Vector (a, b, c)

1.3 NOTACIÓN − − − Los vectores se denotarán con letras minúsculas con unflecha arriba tales como →, →, →. v y z Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C. En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como α, β, k. − • Si el punto inicial de un vector → es A y el punto final es B, entonces v → →=− − AB v → − El vector nulo se denota con 0 = (0, 0, · · · , 0) Para las...