vectores

Versores fundamentales
Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los
ejes y coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ~{; ~|; ~k, cuyascomponentes son:
~{ = (1; 0; 0) ~| = (0; 1; 0) ~k = (0; 0; 1)
y se llaman versores fundamentales.
Todo vector ~A = (a1; a2; a3) puede escribirse en la forma:
~A
= a1~{ + a2~| + a3~k
Estadescomposicion de un vector como suma de tres vectores en la direccion de los
ejes coordenados es muy importante y util. Se llama descomposicion canonica de
un vector.
Ejemplos:
1) Vectores en el plano:dado el vector ~A, con origen en P(..3; 5) y extremo en
Q(4; 7); podemos escribirlo en funcion de sus componentes como:
~A
= (7; 2) = 7~{ + 2~|
2) Vectores en el espacio: dado un vector ~C , conorigen en R(3;..1; 4) y extremo
en S(0; 3;..2); podemos escribirlo en funcion de sus componentes como:
~C
= (..3; 4;..6) = ..3~{ + 4~| .. 6~k
3)
-
x
6y








~B
= 2~{ +6|
O
-
2~{
6~|
6
1. Producto escalar
Se llama producto escalar o producto interno de dos vectores ~A = (a1; a2; a3)
~B
= (b1; b2; b3), al escalar:
~A

~B = a1b1 + a2b2 + a3b3
Observacionimportante: el producto escalar entre dos vectores es un numero
Ejemplos:
1) Si ~A1 y ~A2 son vectores de R2 con componentes ~A1 = (..1; 2) y ~A2 = (2;..9),
entonces el producto escalar entreellos es:
~A
1
~A2 = (..1)2 + 2(..9) = ..20
2) 1) Si ~B1 y ~B2 son vectores de R3 con componentes ~B1 = (..3;..1; 7) y ~B2 =
(..2; 0; 1), entonces el producto escalar entre ellos es:
Nivelacion deMatematica MTHA UNLP 2
~B
1
~B2 = (..3)(..2) + (..1)0 + 7 1 = 13
Propiedades:
1. ~A
~B = ~B
~A
2. ~A
(~B + ~C) = ~A
~B + ~A
~C
3. Si  es un numero real cualquiera: (~A)
~B =~A
(~B ) = (~A
~B)
4. Si ~A es el vector nulo (~A = ~O = (0; 0; 0)), entonces ~A
~A = 0; si ~A es cualquier
otro vector: ~A
~A = j~Aj2
Todas estas propiedades son sencillas de demostrar...