Vectores

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
VECTORIAL

IES La Magdalena.
Avilés. Asturias

Magnitudes escalares y vectoriales
La gran variedad de cosas medibles (magnitudes) se pueden clasificar en dos grandes grupos:

• Magnitudes que sólo requieren dar su valor. Por ejemplo 5,0 g ; 25 0 C ; 54,65 s… Son las
llamadas magnitudes escalares.

• Magnitudes que para estar correctamente especificadas serequiere conocer:
Su valor o módulo.
Su dirección (representada por una recta)
Su sentido (que se representa por una punta de flecha)
Son las llamadas magnitudes vectoriales que usan para su representación flechas o vectores.
Son ejemplos de éstas la velocidad, la aceleración o las fuerzas.

Igualdad de dos vectores:
Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y elmismo sentido.

Producto de un escalar (número) por un vector

u
r
3v

Ejemplos:

Es un vector:

u
r
v

• De módulo el producto del número por el
módulo del vector.

u
r
0,5 v
u
r
−2 v

• Dirección, la del vector.
• Sentido, el mismo del vector si el número es
positivo y contrario si es negativo.
Al multiplicar un número por un vector obtenemos
otro vector de la mismadirección y sentido que el
primero (si el número es positivo), pero mayor o más
pequeño. O bien, un vector (mayor o más pequeño)
que apunta en sentido contrario al dado (si el número
es negativo)

Suma de vectores
Al sumar dos vectores se obtiene otro
vector (vector suma o resultante).
Para obtener el vector suma es necesario
recurrir a lo que se conoce como “regla
del paralelogramo”.Esto es, se construye
un paralelogramo que tenga los vectores
como lados y se traza la diagonal del
mismo para obtener el vector suma.
→
El vector suma S produce el mismo
efecto actuando solo que los vectores

→
→
A y B actuando a la vez.

1.Trazar por el extremo
de A una paralela a B

→
A

2. Trazar por el extremo
de B una paralela a A

→
B

3. Trazar la diagonal
delparalelogramo para
obtener el vector suma
o resultante.

1

Resta de vectores
Al restar dos vectores se obtiene otro vector.
Para obtener el vector resta o diferencia se puede usar la regla del paralelogramo, teniendo en cuenta
que la diferencia puede ser considerada como la suma de un vector y su opuesto:
u su u
r
r
ur

()

B−A =B+ −A
→
A

→

→
B

1. Obtener el vector ( - A)→
-A

→

→

2. Sumar B + ( - A)

→
A

… aunque existe un procedimiento abreviado:

→
D

→
B

Si los vectores son perpendiculares:

Para RESTAR

Para SUMAR

Unir los extremos de ambos vectores y asignar
como sentido del vector diferencia el que va
del sustraendo al minuendo.

Construir el paralelogramo y trazar la diagonal

ur
A

uu ur u
r
r
S =A+B

Unirlos extremos
de ambos vectores
(dirección) y trazar
la flecha (sentido)
del sustraendo al
minuendo.

uuu ur u
r
r
D1 = A − B

ur
A

uuur u ur
r
D2 = B − A

ur
A

u
r
B

u
r
B

u
r
B

uu
r

u
r

uu
r

ur

Observa que A − B ≠ B − A ya que son
vectores que tienen el mismo módulo, la
misma dirección, pero sentidos contrarios.
Tanto para la suma como parala resta. Si
queremos obtener el valor del vector
resultante, tendremos que hacer:

S2 = A 2 + B 2 ; S = A 2 + B2
D2 = A 2 + B 2 ; D = A 2 + B 2

Si queremos saber el ángulo que forma con el eje x
podemos utilizar la función tangente:

A

α

tg α =

A
A
; α = invtg  
B
B

B
2

Componentes de un vector
Siempre podemos descomponer un vector en sus dos componentes. Esdecir, obtener otros dos
vectores perpendiculares que, actuando a la vez, produzcan el mismo efecto que el vector
considerado actuando solo.
1. Trazar una
paralela al eje X

r
v

r
vy
Componente y

2. Trazar una
paralela al eje Y

r
vx
Componente x
Para obtener el valor (módulo) de las componentes:

r
v

r
vy

vx = v. cos α
vy = v . sen α
α

r
vx
Expresión de un...