Vectores

Facultad de Estomatología Roberto Beltrán Fundamentos Físico-Matemáticos de la Estomatología

UNIDAD II VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO

FC4: PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL EN EL ESPACIO

Elproducto escalar (producto punto)
DEFINICIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores
es: El producto escalar de dos vectores y es:

y

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR Sean u,v y w vectores en el plano o en el espacio, y sea c un escalar.

Ejemplo. Dados los vectores hallar: Solución.

Ángulo entre dos vectores
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Si θ es el ángulo entre dosvectores no nulos u y v, entonces

Prueba: Considere el triángulo formado por los vectores, tal como se muestra en la figura:

Por la ley de cosenos se tiene:

Usando propiedades del productoescalar:

Sustituyendo en la ley de cosenos se tiene:

Ejemplo. Dados encontrar el ángulo entre cada par de vectores:

Solución.

Cosenos directores
Ya que:

De manera similar:Consecuentemente:

y debido a que tiene:

es un vector unitario, se

Ejemplo. Encontrar los cosenos y los ángulos directores para el vector
Solución.

Debido a que

Se tiene:

La suma delos cuadrados de los cosenos directores es:

α= ángulo entre v y el vector unitario i β= ángulo entre v y el vector unitario j γ= ángulo entre v y el vector unitario k

Proyecciones y componentesvectoriales
DEFINICIONES DE PROYECCIÓN Y COMPONENTES VECTORIALES Sean u y v vectores no nulos. Sea u=w1+w2, donde w1 es paralelo a v, y w2 es ortogonal a v. 1. w1 es llamado proyección de u sobre v,ó componente vectorial de u a lo largo de v, y es denotado por w1=proyvu. 2. w2=u-w1 es llamado componente vectorial de u ortogonal a v.

w1=proyvu=proyección de u sobre v=componente vectorial deu a lo largo de v w2 =componente vectorial de u ortogonal a v

Ejemplo. Encontrar la componente vectorial de que es ortogonal a

sabiendo que
y Solución. Ya que donde es paralelo a se tiene...