vectores

3. MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
3.1 INTRODUCCIÓN

Muchas magnitudes y relaciones físicas se pueden expresar, de forma simple y concisa, haciendo uso del producto de los vectores. La multiplicación entre vectores se puede efectuar de diferentes maneras. Por ahora, solamente estamos interesados en los productos escalar (producto punto) y vectorial (producto cruz). La operación de división noestá definida para los vectores.

Así por ejemplo, una de las aplicaciones más comunes del producto escalar en Física es el cálculo del trabajo realizado por una fuerza constante, W, el cual se expresa como el producto de los vectores fuerza y desplazamiento: W = F. d. El producto vectorial lo encontraremos al definir el torque o momento de una fuerza, τ. El torque es la magnitud responsable delmovimiento de rotación y se define como el producto vectorial del vector posición de la partícula y la fuerza aplicada: τ = r x F.

3.2 PRODUCTO ESCALAR
Dados los vectores A y B, ver fig. 3.1,





El producto escalar de los vectores, A. B, se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo  que forman, esto es,
A. B = A B Cos (3.1)
Note que A. B da como resultado un escalar (un número).
Las propiedades del producto escalar son:
1.- A. B = B. A ; Propiedad conmutativa.
2.- A. (B + C) = A. B + A. C; Propiedad distributiva.
3.- m (A. B) = (m A). B = A. (m B) = (A. B) m; siendo m un escalar.
4.- i. i = j. j = k. k = 1 ; i. j = j. k = k. i = 0
5.- Dados A = AX i + AY j + AZ ky B = BX i + BY j + BZ k,
Se verifica: A. B = AX BX + AY BY + AZBZ (3.2)
A. A = A2 = AX2 + AY2 + AZ 2
6.- Si A. B = 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendiculares.

3.3 PRODUCTO VECTORIAL
Dados los vectores A y B, su producto vectorial es otro vector C = A x B.
El módulo de C es C = A B Sen  (3.3)
Ladirección de C es la recta perpendicular al plano que definen los vectores A, B y el sentido de C es tal que A , B y C forman un triedro a derechas (ver fig. 3.2).






Por lo tanto
C = A x B = A B Sen  uC (3.4)
Siendo uC un vector que indica la dirección y sentido de C = A x B.
Las propiedades del producto vectorial son:
1.- A x B = -B x A, no goza de la propiedadconmutativa.
2.- A x. (B + C) = A x B + A x C, Propiedad distributiva.
3.- m (A x B) =(A x B) m = mA x B = A x mB, siendo m un escalar.
4.- i x i = j x j = k x k = 0 ;
i x j = k ; j x k = i ; k x i = j.
5.- Dados: A = AX i + AY j + AZ k y B = BX i + BY j + BZ k,
Se verifica:
(3.5)
Desarrollando:
C =(AY BZ - AZ BY) i - (AX BZ - AZ BX) j + (AX BY - AY BX) k

REGLA DE LA MANO DERECHA O DEL TORNILLO

Esta regla proporciona un método para indicar la dirección del vector resultante en el producto vectorial. En la figura 3.3, se indica el principio del método.










En las figs. 3.3, los vectores A y B, se encuentran en un mismo plano horizontal, luego, Si rotamos eltornillo en el sentido de A hacia B, Fig. 3.3 a, el tornillo asciende, y si rotamos el tornillo en sentido contrario, de B hacia A, fig. 3.3 b, el tornillo desciende. El sentido de C es igual al del movimiento del tornillo.

En la figura 3.4, se muestra también la orientación del producto vectorial, haciendo uso de la mano derecha.








Para determinar el sentidopositivo de rotación alrededor de un eje, se apunta con el pulgar de la mano derecha en el sentido positivo del eje y se doblan los dedos restantes como se muestra en la figura 3.5. Los dedos indican el sentido positivo de la rotación alrededor del eje.







* El módulo del producto vectorial se puede interpretar geométricamente como el área del paralelogramo que definen los vectores A y...