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MATEMATICAS
1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Las C´nicas
o

CIENCIAS

MaTEX
´
Conicas

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo

c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

Doc Doc
ISBN: 84-688-8267-4

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MATEMATICAS
1º Bachillerato

1. Introducci´n
o
2. La circunferencia2.1. Recta tangente a una circunferencia
2.2. Potencia de un punto
3. La elipse
3.1. Ecuaci´n reducida de la elipse
o
• Excentricidad • Cambio de centro • Ecuaci´n de la tangente
o
• Las leyes de Kepler
4. La hip´rbola
e
4.1. Ecuaci´n reducida de la hip´rbola
o
e
• Excentricidad • Cambio de centro • Ecuaci´n de la tangente
o
5. La Par´bola
a
5.1. Ecuaci´n reducida de la par´bola
oa
6. Expresi´n general de las c´nicas
o
o
Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
´
Conicas

Tabla de Contenido

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Secci´n 1: Introducci´n
o
o

3

r=A+lu

1. Introducci´n
o

elipses

A

“Las C´nicas” de Apolonio de
o
P´rgamo (262-190 a. C), constaban
e
de ocho libros. Esta obra es el resultado de estudiarlas secciones de
un cono a las que denomin´ c´nicas.
o o
Apolonio descubri´ que se obten´
o
ıan
al cortar mediante una superficie
plana un cono circular en diversas
posiciones.
Depende de c´mo se corten, las
o
secciones resultantes ser´n c´
a
ırculos, elipses, hip´rbolas o par´bolas.
e
a
Aunque estos conceptos no tuvieron
posibilidad de ser aplicados a la
ciencia de su ´poca, suimportancia
e
ha quedado plenamente justificada
con el paso del tiempo.

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
hip´rbolas
e

´
Conicas

circunferencia

MATEMATICAS
1º Bachillerato

par´bolas
a
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Secci´n 1: Introducci´n
o
o

4

Hay varias formas de estudiar las c´nicas:
o
a) Se pueden estudiar como hicieron los
griegos, como has visto en las figurasanteriores, en t´rminos de intersecciones
e
del cono con planos.
b) Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con
dos variables x e y

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r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

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c) Sin embargo en este nivel, como continuaci´n del cap´
o
ıtulo de m´trica en el
e
plano, es m´s adecuado estudiarlas coa
mo lugaresgeom´tricos de puntos que
e
cumplen cierta propiedad geom´trica
e

´
Conicas

A x2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

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Secci´n 2: La circunferencia
o

5

r=A+lu

2. La circunferencia

A

Definici´n 2.1 Una circunferencia es el lugar geom´trico de los P (x, y) que
o
e
equidistan de un punto fijo C llamado (centro)

MaTEX

Sea P (x, y) un punto cualquieraverificando d(P, C) = r, siendo r
el radio y C(x0 , y0 ) el centro. De
la f´rmula de la distancia de dos
o
puntos se tiene
+ (y − y0

P
C

=r

y elevando al cuadrado se obtiene
la ecuaci´n de la circunferencia
o

O

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2

(1)

´
Conicas

(x − x0

)2

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

d(P, C) = cte = radio

)2

MATEMATICAS
1º BachilleratoCuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuaci´n
o
reducida
x2 + y 2 = r 2
(2)
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Secci´n 2: La circunferencia
o

6

Ejemplo 2.1. Halla el centro y el radio de la circunferencia
x2 + y 2 − 4 x − 6 y = 12
Soluci´n:
o
Para conseguir la ecuaci´n reducida del tipo (1) se agrupan cuadrados de la
o
siguiente forma
x2 − 4 x = x2 − 2 · 2 x + 4− 4 = (x − 2)2 − 4

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r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

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(x − 2)2 − 4 + (y − 3)2 − 9 = 12 =⇒ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 25
luego el centro es C(2, 3) y el radio r = 5

Ejercicio 1. Halla el centro y el radio de las circunferencias:
a) x2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0

´
Conicas

y 2 − 6 y = y 2 − 2 · 3 y + 9 − 9 = (y − 3)2 − 9
sustituyendo en la...