VECTORES

Instituto de Ayuda Politécnica
Quisquís 1020 entre Avenida del Ejército y García Moreno
(04)2 – 282705
1.5.4. Producto entre vectores.
Hay fenómenos en la naturaleza que se explican de una manera muy concisa con el producto entre vectores, por ejemplo, el trabajo
mecánico que se genera al aplicar una fuerza sobre un objeto determinado y provocar el movimiento del mismo, la torca que seproduce
sobre un eje de rotación al aplicar una fuerza sobre un punto del objeto que rota. En lo sucesivo del texto se darán algunas aplicaciones
adicionales.
Son dos los productos que analizaremos: el producto escalar, y el producto vectorial.
1.5.4.1. Producto escalar.
Es el producto realizado entre dos vectores y que da como resultado un escalar (número real). Haremos la deducción de lasecuaciones que
nos ayudarán a resolver los ejercicios relacionados con el producto escalar.
En la figura 169 se muestran los vectores A y B, y la diferencia que existe entre ellos.

A
-B

B

θ
A
Figura 169

Sabemos de la ley del coseno que
r r2
r2 r2
A − B = A + B − 2 A B Cosθ

de allí realizamos las simplificaciones algebraicas necesarias
r r
r r
r
r
r r
r
r
(A − B )• (A − B )= (A)• (A) + (B)• (B) − 2( A B )Cosθ
r
r
r r
r
r
r
r
r r
r
r
(A)• (A) − 2(A • B ) + (B )• (B ) = (A)• (A) + (B )• (B ) − 2( A B )Cosθ
r r
r r
− 2(A • B ) = −2( A B )Cosθ

r r
r r
A • B = A B Cosθ

(17)

La ecuación 17 nos muestra la relación matemática entre las magnitudes de los vectores, el ángulo que se forma entre ellos y el producto
escalar entre sí1.

1

Debido aque el símbolo que representa al producto escalar es un punto, se suele denominar
también a este producto como “PRODUCTO PUNTO”. Debido a que el resultado se lo obtuvo de una
interpretación geométrica, a este resultado se lo suele llamar producto escalar en la forma
geométrica.

Vectores en tres dimensiones: Producto escalar y vectorial

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Ahora veremos el efecto que causa la variación del ángulo en el producto escalar, debido a que la magnitud es un valor siempre positivo.
Si los vectores tienen la misma dirección, entonces el ángulo entre ellos es cero, y tendríamos
r r r r
A • B = A B Cos 0º
r r r r
A • B = A B (1)
r r r r
A• B = A B
(18)

Este último resultado nosindica que se obtiene el máximo valor posible para el producto escalar entre dos vectores cualesquiera, o sea el
producto escalar es igual al producto de los módulos.
Si tenemos a un vector multiplicado por sí mismo el resultado sería, entonces,
r r r
A• A = A
r r
A• A =

r
A
r2
A

(19)

La ecuación 19 indica que el producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado dela magnitud del vector. Este último
resultado nos ayuda a deducir el valor a obtener por el producto de los vectores unitarios de referencia iˆ , ˆ y k .
j ˆ
2

ˆ ˆ ˆ
i •i = i =1
2

ˆ• ˆ = ˆ =1
j j j
2

ˆ ˆ ˆ
k •k = k =1

Si ahora el ángulo entre los vectores es 90º, tenemos que los vectores son perpendiculares, y el producto escalar es igual a:
r r r r
A • B = A B Cos90º
r r r rA • B = A B (0 )
r r
A• B = 0
(20)
La ecuación 20 nos indica que para que dos vectores sean perpendiculares (u ortogonales), el producto escalar entre dichos vectores es
cero, y viceversa, si el producto de dos vectores es cero, entonces los vectores son perpendiculares2.
1.5.4.1.1. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Demuestre que el producto escalar entre dos vectores cualesquiera es conmutativo.SOLUCIÓN
r
r
Sean los vectores M y N no nulos y que forman entre sí un ángulo cualquiera distinto de cero y de noventa grados, entonces el producto
entre ellos será

2

A este resultado obtenido, el producto escalar (o punto) entre dos vectores perpendiculares es cero,
se lo suele denominar CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.

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