VECTORES

Vectores, Rectas y Planos.

CONTENIDO

1

GEOMETRIA VECTORIAL

2

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11

2
3
4
4
4
5
6
7
8
9
9

Introdución
Vectores
Notación
Operaciones Básicas
Igualdad
Suma y resta
Multiplicación por un escalar
Propiedades de los vectores
Producto punto y norma
Propiedades del producto punto
Norma

1.12

10

1.13Ángulo entre vectores

11

1.14

Paralelismo, perpendicularidad, cosenos directores.

14

1.15

Proyección ortogonal

15

1.16

Producto Cruz en R3

18

1.17

2

Propiedades de la norma

Propiedades del producto cruz

20

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

23

2.1

Rectas

24

2.2

Ángulo,paralelismo, perpendicularidad e intersección

26

2.3

Planos.Ecuación vectorial, normal y cartesiana

29

2.4

Paralelismo, perpendicularidad y ángulo

33

2.5

Intersección entre recta y plano

38

2.6

Distancia de un punto a una recta y a un plano.

39

Referencias

41

CAPITULO 1

GEOMETRIA VECTORIAL

1.1

INTRODUCIÓN

Los vectores, que eran utilizados en mécanica en la composición de fuerzas y velocidades
ya desde finesdel siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo
XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica
de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus “equipolencias",
un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.
El paso siguiente lo da Hamilton, quien inicia elestudio de los vectores. Se le debe a
él el nombre de ‘vector’ producto de la creación de un sistema de números complejos de
cuatro unidades, denominado “cuaterniones”, muy usados hoy en día para el trabajo con
rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son
representadas por medio del lenguaje de los vectores.
En este tema, estudiaremos los vectoresen Rn , las operaciones y sus propiedades. Además
de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D (en la versión en internet)
para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

2 Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F.
Derechos Reservados c 2008 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

VECTORES

3

1.2 VECTORES
A partir dela representación de R, como una recta numérica, los elementos (a, b) ∈ R2
se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo
tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a
(0, 0) y cada (a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y
la coordenada b en la recta vertical (eje Y ).Figura 1.1 Punto (a, b)

Analógamente, los elementos (a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes
del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

Figura 1.2 Punto (a, b, c)

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2
y en R3 . Ladirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha
determina su magnitud.

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Revista Digital Matemática, Educación e Internet (www.itcr.ac.cr/revistamate/)

Figura 1.3 Vector (a, b)

Figura 1.4 Vector (a, b, c)

1.3 NOTACIÓN
− − −
Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como →, →, →.
v y z
Los puntos se denotarán con letrasmayúsculas tales como A, B, C. En el contexto de los
vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas
cursivas tales como α, β, k.
−
• Si el punto inicial de un vector → es A y el punto final es B, entonces
v
→
→=−
− AB
v
→
−
El vector nulo se denota con 0 = (0, 0, · · · , 0)
Para las subsecciones que siguen y con el afán de generalizar,...