Vectores

´ Algebra Vectorial
1. Suma de Vectores

− La suma de dos vectores A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k, es otro vector C que tiene por componentes cartesianas la suma de sus componentes cartesianas: C = (Ax + Bx ) i + (Ay + By ) j + (Az + Bz ) k (1)

− Suma geom´trica (o gr´fica): la suma de vectores se puede llevar tambi´n a cabo e a e geom´tricamente. Destacan dos m´todos: e e1. Regla del paralelogramo: de acuerdo con la regla del paralelogramo, para sumar dos vectores, en primer lugar, se hacen coincidir los or´ ıgenes de los dos vectores. El vector suma ser´ otro vector con el mismo origen y que coincide con la diagonal del a paralelogramo que forman los dos vectores que se suman (ver Fig. 1).

Figura 1: 2. Otro m´todo frecuentemente empleado para sumar vectores,como el ilustrado en e Fig. 2, consiste en hacer coincidir el origen de un vector con el extremo del otro. El vector suma ser´ un vector cuyo origen coincide con el origen del primero y cuyo a extremo coincide con el extremo del segundo. La ventaja de este m´todo es que se puede emplear de forma simple para sumar e gr´ficamente muchos vectores, como se muestra en Fig. 3. a − Por opuesto de un vectorA entendemos otro vector que tiene el mismo m´dulo, la misma o direcci´n, pero sentido contrario. Lo designamos por −A: o −A = −Ax i − Ay j − Az k La suma de un vector y su opuesto es igual a cero: A + (−A) = 0 (3) (2)

1

Figura 2:

Figura 3:

− Para efectuar la diferencia de dos vectores, A − B, no hay m´s que sumar al primero el a opuesto del segundo: A − B = A + (−B).

Figura 4: −Propiedades de la suma de vectores: Conmutativa: A + B = B + A. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C. Elemento neutro: es el vector de m´dulo cero (0), de modo que, A + 0 = A. o Elemento opuesto: A + (−A) = 0 2

2.

Multiplicaci´n de un vector por un escalar o

− El producto de un vector A por un escalar λ (un n´mero) es otro vector C = λA con las u siguientes caracter´sticas: ı m´dulo: |C|= |λ| |A| o direcci´n: la misma que A o sentido: si λ > 0, el mismo que A; si λ < 0, contrario al de A

Figura 5: − Si A = Ax i + Ay j + Az k, entonces: C = λA = λAx i + λAy j + λAz k − Notar que el opuesto de un vector A se obtiene multiplicando dicho vector por -1: −A = (−1) · A = −Ax i − Ay j − Az k − Propiedades de la multiplicaci´n de un vector por un escalar: o Distributiva respecto a lasuma de vectores: λ (A + B) = λA + λB Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β) A = αA + β A (α, β son dos n´ meros) u α(β A) = (αβ)A 1·A = A (−1) · A = −A − Aplicaciones: dado un vector A, podemos obtener el vector unitario u en la direcci´n o de A sin m´s que dividir el vector A por su m´dulo: a o u= A |A| (5) (4)

3

Figura 6:

3.

Producto Escalar

− Dados dos vectores Ay B, se define el producto escalar de estos dos vectores como un n´mero igual al producto de sus m´dulos por el coseno del angulo que forman: u o ´ A · B = |A| |B| cos θ donde θ es el angulo que forman A y B (ver Fig. 6). ´ − Notar que: (i) si A||B (A y B son paralelos): θ = 0◦ =⇒ cos θ = 1 =⇒ A · B = |A| |B| (ii) si A⊥B (A y B son perpendiculares): θ = 90◦ =⇒ cos θ = 0 =⇒ A · B = 0 (iii) Elangulo θ entre dos vectores se puede calcular a partir de su producto escalar. De ´ la ecuaci´n (6), se obtiene: o A·B cos θ = (7) |A| |B| − Propiedades: Conmutativa: A · B = B · A. si λ es un n´ mero: (λA) · B = λ (A · B) u Distributiva respecto a la suma: A · (B + C) = A · B + A · C − Es f´cil comprobar que los productos escalares entre los vectores unitarios i, j, k, toman a los siguientes valores:i·i =j ·j =k·k = 1 (8) i·j =j·k =k·i=0 4 (6)

− Expresi´n del producto escalar en componentes cartesianas: si A = Ax i + Ay j + o Az k y el vector B = Bx i + By j + Bz k, entonces: A · B = A x Bx + A y By + A z Bz − Aplicaciones: C´lculo del m´dulo de un vector: dado un vector A = Ax i+Ay j +Az k, si calculamos a o el producto escalar de este vector por s´ mismo (θ = 0◦ ): ı A · A = |A| |A|...