Vectores

UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO MATEMÁTICA

MATEMÁTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 1 -

GUIA DE APOYO MATEMÁTICA ARQUITECTURA 2005 PROFESOR GABRIEL SANHUEZA DAROCH Ejercicios de Vectores
1. a) Halla el punto Q simétrico de P(1, −2) respecto del punto H(2, 5). b) Halla n para que el punto S(4, n) esté alineado con los puntos A(3, −4) y B(7, 2) c) Dadosu = (15, −2), v = (−3, 1) y w = (6, 7), calcula m y n para que w = m⋅ u + n⋅ v Solución: a) Si P’(x , y) es el simétrico de P respecto de H ⇒ H es el punto medio del segmento PP’ ⇒

x +1 =2 2

⇒x=3 y

b) Si S(4, n) esté alineado con A y B, AB = (4, 6) y BS = (− 3, n − 2 ) tienen la misma dirección ⇒

y−2 = 5 ⇒ y = 12 ⇒ el punto buscado es P ′ (3, 12) 2

−3 n −2 10 5 ⇒ −18 = 4n − 8 ⇒ 4n= −10 ⇒ n = − = =− 4 6 4 2
15m − 3n = 6 ⎧15m − 3n = 6 c) w = m⋅ u + n⋅ v ⇒ (6, 7) = m (15, −2) + n (−3, 1) ⇒ ⎨ ⇒ − 6m + 3n = 21 ⎩ − 2m + n = 7 9m = 27
m = 3 ⇒ n = 7 + 2m = 7 + 6 = 13 2. Dados los vectores u = (2, −1) y v = (5, x). a) Calcula x para que el módulo de v sea igual a 3 | u |. b) Calcula x para que sean paralelos

Solución: a)

v

= 3 | u | , como | u | =

5⇒

25 + x 2 = 3 5⇒ 25 + x2 = 45 ⇒ x2 = 20 ⇒ x = ± 20
5 x 5 = ⇒ x=− 2 −1 2

b) Si u y v son paralelos ⇒ v = k u ⇔

2. Halla un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que u = (2, −1) . Solución: Si w tiene la misma dirección que u ⇒ w = k u ⇒ w = (2k, −k) y como w = 1 ⇒

4 k 2 + k 2 = 1 ⇒ 5k 2 = 1

⇒ k=±
Si k = 1

1 5

⎛ 2 1 ⎞ ⎟ tiene la misma dirección y sentido que u ⇒ w= ⎜ ,− ⎟ ⎜ 55⎠ ⎝ 5 ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎟ tiene la misma dirección y sentido opuesto a u Si k = − ⇒ w = ⎜− , ⎟ ⎜ 5 5 5⎠ ⎝ Otra forma: u =

4 + 1 = 5 , un vector unitario con la misma dirección y sentido que u será:

u ⎛ 2 −1 ⎞ ⎟ =⎜ , |u| ⎜ 5 5 ⎟ ⎠ ⎝
3. a) Halla un vector perpendicular a u = (−5, 12) que tenga por módulo 5. ¿Cuántas soluciones hay? b) Halla las coordenadas de un vector con la misma dirección que u =(−3, 4) pero de módulo 10. ¿Cuántas soluciones hay? Solución: 5x a) w = (x, y) es perpendicular a u = (−5, 12) ⇒ u ⋅ w = 0 ⇒ −5x + 12 y = 0 ⇒ y = 12

GABRIEL SANHUEZA DAROCH

MATEMÁTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 2 -

Si el módulo de w es 5 ⇒

x 2 + y 2 = 5 ⇒ x 2 + y 2 = 25 . Sustituyendo y =

5x obtenemos 12

25x 2 3600 360 60 = 25 ⇒ 144 x 2 + 25x 2 = 25 ⋅ 144 ⇒ x 2= ⇒ x=± =± . 144 169 169 13 25 ⎞ 60 25 60 25 ⎛ 60 ⎛ 60 25 ⎞ ⇒ w = ⎜ , ⎟ . Si x = − ⇒ w = ⎜− , − ⎟ ⇒y= ⇒y= − Si x = 13 13 13 13 13 ⎠ ⎝ 13 13 ⎠ ⎝ 13 Por lo tanto hay dos soluciones x2 + b) Si w tiene la misma dirección que u ⇒ w = k u ⇒ w = (−3k, 4k) y como w = 10 ⇒
⇒25 k2 = 10 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = ± 2 Si k = 2 ⇒ w = (−6, 8). Si k = −2 ⇒ w = (6, −8). Por lo tanto hay dos soluciones 4. a) Expresa losvectores a , b y c como combinación lineal de u y v : 1 ⎞ ⎛ b) Dados u = (15, −2), v = (−3, 1) y w = (6, 7). Calcula ⎜ 2u − v ⎟ ⋅ w 3 ⎠ ⎝ Solución: a) a = u + v ; b = (1 punto) 9k 2 + 16k 2 = 10

1 u +2 v ; c = − u + 2 v 2
13 ⎞ 91 467 ⎛ = ⎜ 31, − ⎟ ⋅ (6, 7 ) = 186 − 3⎠ 3 3 ⎝

1 ⎡ ⎤ b) ⎢2 ⋅ (15. − 2) − ⋅ (− 3, 1)⎥ ⋅ (6, 7) = 3 ⎣ ⎦ 5. Dado el vector u = ( −3, 4) , halla:

a) El ángulo que formacon v = (2, − 1) b) El valor de k para que w = (2, k ) sea perpendicular u Solución: a) cos ⎜ u , v ⎟ =

⎛ ⎝

∧

⎞ ⎠

−6−4 u⋅v − 10 − 2 5 ⎛ ∧ ⎞ = = = ≈ −0,894 ⇒ ⎜ u , v ⎟ = 153º 26′ 6′′ u ⋅ v 5 9 + 16 ⋅ 4 + 1 5 5 ⎠ ⎝
k= 6 3 = 4 2

b) Para que u y v sean perpendiculares, su producto escalar ha de ser cero:
→ →

u ⋅ w = (− 3, 4 ) ⋅ (2, k ) = −6 + 4 k = 0 →

6. Dados los vectores x =(a , 1) e y = (−2, b) , halla los valores de a y de b para que x e y sean perpendiculares, y que y = 2 2 . Solución:
Calculamos el valor de b teniendo en cuenta que y = 2 2
→

y =

(− 2)2 + b 2
→

=

4 + b2 = 2 2

→

4 + b2 = 8 →

b2 = 4

⎧ b 1 = −2 ⎨ ⎩b 2 = 2 Hay dos posibles valores para b: b1 = −2 y b2 = 2 Hallamos a teniendo en cuenta que x e y han de ser perpendiculares...