Vectores

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL

1.- VECTORES EN R2 y R3
1.- Se definen los vectores v = (2, 3), w = (1, 1) y u = (0, 3). Realiza las siguientes operaciones:
(a) v + w y w + v.
(b) (u + v) + w y u + (v + w).
(c) v + v y 2v.
(d) -1v y -v.
(e) v + -1v y v - v.
(f) 2(3u) y ((2)(3))u.
(g) 2(v + w) y 2v + 2w.
¿Qué puedes decir de los resulñtados de cada inciso? ¿Puedes conjeturar algo engeneral?

2.- Si v = (2; 3) ; u = (3; 1) y w = (8; 0) ejecuta las siguientes operaciones
a) [pic]w b) v + u c) v + u + w d) 2v + 3u + w
En cada inciso, dibuja todos los vectores involucrados en la operación

3. Determina las operaciones siguientes, si v = (1; 2; 3), u = (3; 1; -2) y w = (2; -3; -1) :
(a) v + w (b) v + 3u (c) w + u (d) 5v -2u + 6w (e) 2v -3u-4w

4.- Extiende la definición de longitud de un vector en R2 y R3 para calcular la longitud de los siguientes vectores
(a) (2; 4; 3) (b) -2(2; 4; 3) (c) (2; 0; 0) (d) (-1; 1; 0; - 2) (e) (5; 5; 5; 5)
5.- Un vector unitario es un vector de longitud 1. Encuentra 3 vectores unitarios en R2 . Encuentra 3 vectores unitarios en R3 .
6.- La suma de dos vectores unitarios ¿es otrovector unitario? Demuéstralo o exhibe un contraejemplo de esta afirmación
7.- Encuentra un escalara real tal que kv es un vector unitario, si v = (5; -3; 4)
8.- Los puntos siguientes representan tres vértices de un paralelogramo, (1; 1), (4; 2) y (1; 3), ¿cuáles serían las coordenadas del cuarto vértice?
9.- Si v = (1; -2; 1), w = (0; 1; -1). Encuentra esclares k y j tales que kv + jw = (4; 2;-6) :
10.- Si u = (-1, 3), v = (2, 4), w = (w1 , 4) y x = (-2, x2), ¿En cada uno de los casos siguientes, es posible determinar w1 y x2 de modo que:

a) w = 2u b) [pic]x = v c) w + x = u

Ilustra gráficamente cada caso

11.- a)¿Es posible determinar escalares c1, c2 diferentes únicos tales que (1, 2) = c1(-1, 3)+c2(2, 4)? Si la respuesta es afirmativa, determinalas constantes. Ilustra gráficamente el resultado anterior

b) ¿Es posible determinar escalares c1, c2 únicos tales que (1, 2, -3) = c1(-1, 3, 0)+ c2(2, 4, 1)? Si la respuesta es afirmativa, determina las constantes. Ilustra gráficamente el resultado anterior

12.- Encuentra escalares c1, c2 y c3 (si existen) tales que:

a) c1(-3, 1, 2)+ c2(4, 0, -8) + c3 (6, -1, -4) = (0, 5, 4)b) c1(-3, 1, 2)+ c2(4, 0, -8) + c3 (6, -1, -4) = (0, 0, 0)

13.- Si u = (-3, 1, 2), v = (4, 0, -8) y w = (6, -1, -4) encuentra

a) ||u + v|| b) ||u|| + ||v|| c) ||-2u|| + 2||u|| d) ||3u –5v + w|| e) [pic]

14.- Si u = (-3, 1, 2) encuentra escalares k tales que ||ku||| = 4

15.- Si u = (-3, 1, 2) y v = (x, y, z) describe el conjunto dado por |||u – v||| = 1

16.-Muestra que los puntos (3, 0, 2), (4, 3, 0) y (8, 1, -1) son los vértices de un triángulo rectángulo ¿En cuál de los vértices está el ángulo recto? Calcula el área

17.- Grafica y calcula el área de las figuras cuyos vértices son:

a) (3, 3) , (-1, -1), (4, 1) b) (0, 0), (0, 3), (4, 0) c) (2, 3), (5, 3), (4, 5), (7, 5)

d) (-2, 3), (1, 4), (3, 0), (-1, -3)

18.- Calcula los ángulosinternos de cada una de las figuras anteriores

19.- Encuentra dos vectores ortogonales a cada uno de los vectores siguientes:

a) (1, 1) b) (2, 3) c) (1, 0, -1) d) (1, 0, 1, 1)

20.- Un barco es jalado por un remolcador con una fuerza de 300 kg a lo largo del eje y negativo, mientras que otro remolcador empuja a lo largo del eje x negativo con una fuerza de 400kg. Determina la magnitud y dirección de la fuerza resultante. Grafica

21.- Un avión vuela con rapidez de 260 km/hr. El viento sopla en dirección oeste a 100 km/hr. Indica la dirección aproximada que debe seguir el avión para que el vuelo se dirija al sur. ¿Cuál será la rapidez resultante?

22.- Si u y v son vectores de R3 Demuestra las identidades

a) ||u+v||2 + ||u-v||2 = 2(||u||2 +...